题目
如图，，，点 、 在平面 的同侧，，，，平面 平面 ，。
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长。
参考解答
解析：
（1）因为 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
因为 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
又 平面 ， 平面 ，，所以平面 平面 。
因为 平面 ，所以 平面 。
（2）取 的中点 。因为 ，所以 。
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
又 ，故可建立如图所示的空间直角坐标系 。
在四边形 中，因为 ，，，，所以 ，所以 。
因为 ，所以在 中，。
所以 、、、、、，于是 。
又 、。
设 ，，则 。
设 为平面 的法向量，则
取 ，得 、，故 。
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，而 是平面 的法向量，所以
两边同时平方，得 ，解得 或 （舍去），所以 。
所以 。
答案：（1）证明见解析；（2）