题目
在 中，，。若空间点 满足 的面积等于 面积的一半，则 的最小值为 __；直线 与平面 所成角的正切的最大值是 __。
参考解答
解析：
过点 作 于点 ，过点 作 于点 。
由 、，得 。
又 的面积等于 面积的一半，即
所以 ，解得 。
所以点 在以 为旋转轴、底面圆半径为 的圆柱的侧面上。
当点 与点 、 三点共线时， 最小，且最小值为 。
如图所示，以平面 为 平面，建立空间直角坐标系 ，则 、、，平面 的法向量为 。
设 ，则 ，
当 且 时 最小，即 与 、 三点共线时 最小，最小值为 。
记直线 与平面 所成角为 。因为 是平面 的法向量，所以
因为 ，所以
令 ，则 ，，于是
又 在 上单调递减、在 上单调递增，所以 ，因此 。
（等号成立需同时满足 ，即 ，以及 。）
又 ，所以直线 与平面 所成角的最大值为 ，此时 。
答案：；