题目
- 如图，在圆锥 中，， 是底面圆 上的动点， 是圆 的直径，， 是 的两个三等分点，（），记二面角 、 的平面角分别为 、，若 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
参考解答
解析：
设底面圆的半径为 ，。
以 所在直线为 轴，以垂直于 的直线为 轴，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则
因为 ， 是 的两个三等分点，所以
第一步：求二面角 的平面角 。
设平面 的法向量为 ，由 和 得
取 ，解得 ，，即
平面 即底面所在平面，其法向量为 。
由图可知二面角 为锐二面角，所以
第二步：求二面角 的平面角 。
设平面 的法向量为 ，由 和 得
取 ，由第一式得 ；代入第二式得
即
平面 即底面所在平面，其法向量同样为 。
由图可知二面角 为锐二面角，所以
第三步：由 求 的范围。
由二面角的范围知 ，而 在 上单调递减，所以
两个余弦值的分子相同（都是 ，且都大于 ），故只需比较分母：
即 ，也就是 。
而 ，所以
又 ，故 。
反过来，当 时 ，此时 ，条件 恰好取到。
答案：（选 B）