题目
正方体 的棱长为 2， 为该正方体侧面 内的动点（含边界），若 、 分别与直线 所成角的正切值之和为 ，则四棱锥 的体积的取值范围为 。
参考解答
解析：
在正方体 中，以 为原点，以 、、 所在直线为 、、 轴建立空间直角坐标系 。
因为 在侧面 内，可设 ，其中 ，；又 ，，。
设直线 与直线 所成角为 ，则
所以
同理，设直线 与直线 所成角为 ，可得
由题意 ，即
即
注意到 与 分别是侧面内点 到点 、点 的距离：在侧面 内取 为原点、 为横轴、 为纵轴，则 、、 的坐标分别为 、、。于是上式表明：点 的轨迹是侧面内以 、 为焦点的椭圆被该平面截得的曲线。
由 得长半轴 ；又焦距 ，故 ，短半轴满足 。以 中点为原点，椭圆方程为
即 。
当 时 取最大值 1，此时点 在 中点的正上方，点 到平面 的距离 ；当 或 时 取最小值 ，此时点 在点 或点 的正上方，。
所以点 到平面 的距离的取值范围是
于是
答案：