题目
正方体 的棱长为 ， 平面 ， 平面 ，、 分别为棱 、 的中点，则正方体在平面 内的正投影的面积为 。
参考解答
解析：
以点 为坐标原点，分别以 、、 的方向为 、、 轴正方向建立空间直角坐标系 。
由棱长为 ，且 、 分别为 、 的中点，得
因为 ，，设 的法向量为 ，由 、 得
取 ，得 ，，故可取 。
又 ，故 ；而 在平面 内，且 、，于是 ，所以平面 平面 。
由 知 ；又 、 的中点都是 ，即两条对角线互相平分，所以四边形 是菱形。由
得
因为平面 平面 ，所以菱形 在 内的正投影就是它本身，面积为 。
平面 把正方体分成两部分，这两部分在 内的投影都以菱形的投影为公共部分；每部分的投影与这个公共部分之差，恰好是该部分中两个三角形面的投影之和，即三角形 、 的投影与三角形 、 的投影。这四个三角形都是直角三角形，两直角边长分别为 和 ，面积都是
它们的法向量分别平行于 轴（面 、面 ）或 轴（面 、面 ），而 ，所以
于是正方体在平面 内的正投影面积为
答案：