题目
- 如图，在棱长为 的正方体 中，点 是平面 内一个动点，且满足 ，则直线 与直线 所成角的取值范围为（ ）（参考数据：，）
A.
B.
C.
D.
参考解答
解析：
取 的中点 ，作点 在平面 内的投影 （即 平面 ），过 作 交 于点 ，连结 、。以 为坐标原点，分别以 、、 所在直线为 、、 轴建立空间直角坐标系，如图。
第一步：写出 、、、 的坐标。
正方体的体对角线 垂直于平面 ，故 、、 三点共线， 在 轴上。
棱长为 ，故 ；又
所以 ，从而
在直角三角形 中，，故 ，进而
因为 在 轴上，且 、 关于 轴对称，所以
第二步：由 求 的轨迹。
设 ，则
由 得
令 ，函数 在 上单调递增，而 ，故 ，即
即点 的轨迹是平面 内以 为圆心、 为半径的圆（该平面垂直于 ，与以 、 为焦点的旋转椭球面相截，截线为圆）。
第三步：把两直线所成角转化为 的函数。
记 为直线 与直线 所成的角。因为 ，所以 就是直线 与直线 所成的角，且
由 得 。又两直线所成角 为锐角或直角，故
第四步：得角的范围。
由 得 ；余弦在 上单调递减，所以
答案：（选 B）