题目
棱长为 的正方体 中，、、 分别为棱 、、 的中点， 为平面 上的动点，若 、 交于 ，将正方形 的四个顶点绕着 在上底面逆时针旋转 得到一个十面体 （如图），则下列结论正确的是（ ）
A. 十面体的外接球表面积为
B.
C. 若 与 的夹角为 ，则 点的轨迹为圆
D. 十面体的体积为
参考解答
解析：
设 ，则 为下底面中心、 为上底面中心， 两底面且 。十面体 的侧面均为三角形，其八个顶点为 、、、 与 、、、，其中 是正方形 绕 在顶面内旋转 所得。
选项 A：
取 的中点 。由对称性知 为十面体外接球的球心。
因为 ，，所以
又旋转不改变各顶点到中心的距离，故 ，同理
所以 8 个顶点到 的距离都等于 ，即外接球半径为 ，表面积为
故 A 正确。
选项 B：
以 为原点，、、 为 、、 轴建系，则
于是
所以 与 不垂直，B 错误。
选项 C：
满足“ 与 所成角为 ”，即 在以 为顶点、 为轴的圆锥面上（母线与轴夹角 ）。
由 ， 得平面 的一个法向量
而 ，故 平面 。
又 不在平面 上（平面方程为 ，代入得 ），所以该圆锥面与平面 的截线是圆，C 正确。
选项 D：
在顶面内，分别过 、 作 的平行线，过 、 作 的平行线，四线依次相交于 、、、，则 是边长为 的正方形（它的边与 、 平行），连结 、、、 得四棱台 。
该棱台上、下底面边长分别为 、，高为 ，故
十面体 与棱台相差顶部四个小四面体，例如 ：底面 是两直角边为 的等腰直角三角形，高为 ，故
同理 。所以十面体的体积为
D 正确。
答案：