每日一题：2026-10-04

题目

1. 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学。对于半径为 的球 ，过球面上一点 作两条大圆的弧 、，它们构成的图形叫做球面角，记作 （或 ），其值为二面角 的大小，其中点 称为球面角的顶点，大圆弧 、 称为球面角的边。不在同一大圆上的三点 、、，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 、、，这三条劣弧组成的图形称为球面 ，这三条劣弧称为球面 的边，、、 三点称为球面 的顶点；三个球面角 、、 称为球面 的三个内角。已知球心为 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点 、、。类比二面角，我们称从点 出发的三条射线 、、 组成的图形为三面角，记为 。其中点 称为三面角的顶点，、、 称为它的棱，、、 称为它的面角。以下说法，正确的是（　　）

A. 任意球面三角形的内角和为

B. 若三面角 的三个面角的余弦值分别为 、、，则球面 的三个内角的余弦值有一个是

C. 若三面角 的三个面角的余弦值分别为 、、，则球面 的面积为

D. 若三面角 的三个面角的余弦值分别为 、、，则球面 的面积为

参考解答

解析： 引理：若单位球面上球面 的三个球面角 ，记其面积为 ，则 引理的证明：记球 的表面积为 ，则 。设 、、 的对径点分别为 、、。 所在的大圆与 所在的大圆把球面分成四个部分，其中面积较小的两部分（夹角为 的两个球面二角形）的面积之和 等于球表面积 的 倍，即 。同理可定义 ，且 ，。 而三个大圆（、、 所在的大圆）把球面分成 8 个球面三角形——除 与 外的六个三角形与 的覆盖关系给出 故 引理得证。 对于 A：因为 ，所以 ，即 ，不是一个固定值，A 错误。 对于 B：由已知条件，可设 ，，。以 为原点建系，不妨设 ，，设 。 由 可知 ，，解得 ；又 得 ，不妨设 ，则 ，所以 。 设平面 、、 的法向量分别为 。由 可取 ；同理 ，。 于是三个内角的余弦值分别为 即 ，其中没有 ，故 B 错误。 对于 C、D：由 B 选项可知 ，，，再由引理可知球面 的面积 故 C 错误、D 正确。 答案：