每日一题：2020-07-14

每日一题: 2020-07-14

题目: 设$A,B$ 为两个定点, $C$ 为直线$AB$ 一侧的动点, 在面$ABC$ 内$\triangle ABC$ 之
外作正方形$CADI,CBEJ$ (如图), 求证: 线段$DE$ 的中点$M$ 是定点.

参考思路

如图, 过点$D,E,C,M$ 分别做直线$AB$ 的垂线, 垂足分别为$G,H,K,N$. 由平行线分线段成比
例及梯形中位线定理, 的$HN=GN, MN=\frac{EH+DG}{2}$.

又易得$\triangle ADG\cong \triangle CAK$, 所以$DG=AK,AG=CK$. 同理得$AG=CK=BH$,$EH=BK$.
得$HN-BH=NG-AG, BN=NA$, $N$ 是边$AB$ 的中点, $MN=\frac{BK+AK}{2}=\frac{AB}{2}$.
由$A,B$ 是定点, $N$是边$AB$ 的中点, $NM\bot AB, NM=\frac{AB}{2}$, 知$M$ 是定点.