初三上学期

每日一题：2020-10-16

每日一题: 2020-10-16

题目: 如图, 在平面直角坐标系中, 四边形OABCOABC 是矩形, OA=16OA=16 cm, OC=82OC=8\sqrt{2}cm,
两动点M,NM,N 分别从O,CO,C 同时出发, MM 在线段OAOA 上沿OAOA 方向以每秒22 cm 的速度
匀速运动, NN 在线段COCO 上沿COCO 方向以每秒2\sqrt{2} cm 的速度匀速运动, 设运动时
间为tt 秒(0<t<8)(0\lt t\lt 8).
(1) 求△OMN\triangle OMN 的面积的最大值;
(2) 四边形OMBNOMBN 的面积是一个定值吗? 若是, 求出定值; 若不是, 请说明理由;
(3) 当△OMN\triangle OMN 与△ABM\triangle ABM 和△MBN\triangle MBN 都相似, 抛物线y=14x2+bx+cy=\frac{1}{4}x^2+bx+c
经过B,MB,M 两点, 过线段BMBM 上一动点作xx 轴的垂线交抛物线于点QQ, 交NBNB 于点HH,
当线段PQPQ 的长取得最大值时, 求△PBH\triangle PBH 的面积.

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参考思路

(1) S△OMN=12ON⋅OM=12×2t×2(8−t)=−2(t−4)2+162S_{\triangle OMN}=\frac{1}{2}ON\cdot OM=\frac{1}{2}\times 2t\times \sqrt{2}(8-t)=-\sqrt{2}(t-4)^2+16\sqrt{2}
所以当t=4t=4 时, S△OMNS_{\triangle OMN} 取得最大值16216\sqrt{2}.

(2) 是一个定值, 理由如下:
∵SOMBN=SOABC−S△BCN−S△ABM=OA⋅OC−12BC⋅CN−12AB⋅AM\because S_{OMBN}=S_{OABC}-S_{\triangle BCN}-S_{\triangle ABM}=OA\cdot OC-\frac{1}{2}BC\cdot CN-\frac{1}{2}AB\cdot AM
=16×82−12×16×2t−1282×(16−2t)=642=16\times 8\sqrt{2}-\frac{1}{2}\times 16\times \sqrt{2}t-\frac{1}{2}8\sqrt{2}\times (16-2t)=64\sqrt{2}.
$\because $ 四边形OMBNOMBN 的面积是一个定值, 该定值为64264\sqrt{2}.

(3)当△OMN∽△ABM∽△MBN\triangle OMN\backsim \triangle ABM \backsim \triangle MBN 时, △BMN\triangle BMN 必须是直角三角形.
∴∠BMN=90∘\therefore \angle BMN=90^{\circ}
∴MOAB=ONMA\therefore \frac{MO}{AB}=\frac{ON}{MA} 即2t82=82−2t16−2t⇒t=4\frac{2t}{8\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{16-2t}\Rightarrow t=4 或8(舍去)
∴OM=8,ON=42⇒M(8,0),N(0,42)\therefore OM=8, ON=4\sqrt{2}\Rightarrow M(8,0), N(0,4\sqrt{2})
易求得直线BMBM 解析式为: y=2x−82y=\sqrt{2}x-8\sqrt{2}, 直线BNBN 的解析式为: y=24x+42y=\frac{\sqrt{2}}{4}x+4\sqrt{2}.
$\therefore $ 抛物线的解析式y=14x2+bx+cy=\frac{1}{4}x^2+bx+c 经过B(16,82),M(8,0)B(16,8\sqrt{2}), M(8,0)
代入可得抛物线解析式: y=14x2+(2−6)x+32−82y=\frac{1}{4}x^2+(\sqrt{2}-6)x+32-8\sqrt{2}.
设P(t,2t−82)P(t,\sqrt{2}t-8\sqrt{2}), 则Q(t,14x2+(2−6)t+32−82),H(t,2t4+42)Q(t,\frac{1}{4}x^2+(\sqrt{2}-6)t+32-8\sqrt{2}),H(t,\frac{\sqrt{2}t}{4}+4\sqrt{2})
∴PQ=2t−82−(14t2+(2−6)t+32−82)=14t2+6t−32=−14(t−12)2+4\therefore PQ=\sqrt{2}t-8\sqrt{2}-(\frac{1}{4}t^2+(\sqrt{2}-6)t+32-8\sqrt{2})=\frac{1}{4}t^2+6t-32=-\frac{1}{4}(t-12)^2+4
所以当t=12t=12 时, PQPQ 最大值是44, 此时P(12,42),H(12,72)P(12,4\sqrt{2}), H(12,7\sqrt{2}),
∴SPBH=12×4×32=62\therefore S_{PBH}=\frac{1}{2}\times 4\times 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}.