每日一题：2020-10-25

每日一题: 2020-10-25

题目: 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}+3$ 与
$x$ 轴交于$A,B$ 两点(点$A$ 在点$B$ 的左侧), 与$y$ 轴交于点$C$, 抛物线的顶点为点$E$,
平移抛物线, 使抛物线的顶点$E$ 在射线$AE$ 上移动, 点$E$ 平移后的对应点为点$E'$, 点$A$
的对应点$A'$. 将$\triangle AOC$ 绕点$O$ 顺时针旋转至$\triangle A_1OC_1$ 的位置, 点$A,C$
的对应点分别为$A_1,C_1$, 且点$A_1$ 恰好落在$AC$ 上, 连结$C_1A', C_1E'$. $\triangle A'C_1E'$
能否为等腰三角形? 若能, 求出所有符合条件的点$E'$ 的坐标; 若不能, 请说明理由.

参考思路

$\triangle A'C_1E'$ 能为等腰三角形, 符合条件的点$E'$ 有四个, 具体如下:
由抛物线表达式可求得$A(-\sqrt{3},0), C(0,3)\Rightarrow \angle CAO=60^{\circ}, \angle AOA_1=60^{\circ}$.
有旋转的性质可得$\angle COC_1=\angle AOA_1=60^{\circ}, OC_1=OC=3\Rightarrow C_1(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$.

易求抛物线顶点$E(\sqrt{3},4)$, 所以$AE$ 的表达式为: $y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$.
可设点$A'$ 的坐标为$(t,\frac{2\sqrt{3}}{3}t+2)$, 则由平移的性质可得点$E'$ 的坐标为$(t+2\sqrt{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}t+6)$
且$t\gt -3\sqrt{3}$. 所以$A'E'^2=AE^2=28$.
有$A'C_1^2=\frac{7}{3}t^2-\frac{7\sqrt{3}}{3}t+7. E'C_1^2=\frac{7}{3}t^2+7\sqrt{3}t+21$.

$\triangle A'C_1E'$ 为等腰三角形有三种可能:
(i) 当$A'E'=A'C_1$ 时, 有$\frac{7}{3}t^2-\frac{7\sqrt{3}}{3}t+7=28\Rightarrow t=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{39}}{2}$.
此时点$E'$ 的坐标为$(\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{39}}{2},7+\sqrt{13})$ 或$(\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{39}}{2},7-\sqrt{13})$;

(ii) 当$A'C_1=E'C_1$ 时, 有 $\frac{7}{3}t^2-\frac{7\sqrt{3}}{3}t+7=\frac{7}{3}t^2+7\sqrt{3}t+21$ 解得$t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
此时点$E'$ 的坐标为$(\frac{3\sqrt{3}}{2},5)$;

(ii) 当$A'E'=C_1E'$ 时, 有$\frac{7}{3}t^2+7\sqrt{3}t+21=28\Rightarrow t=\frac{-3\sqrt{3}\pm \sqrt{39}}{2}$,
而$t\gt -3\sqrt{3}$, 所以$t=\frac{-3\sqrt{3}+\sqrt{39}}{2}$.
此时点$E'$ 的坐标为$(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{29}}{2},3+\sqrt{13})$.

综上可得: 符合条件的点$E'$ 坐标有:
$(\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{39}}{2},7+\sqrt{13}),(\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{39}}{2},7-\sqrt{13}),(\frac{3\sqrt{3}}{2},5)$ 或$(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{39}}{2},3+\sqrt{13})$.