每日一题 2026-03-13

每日一题 2026-03-13

已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，$\cos \angle BAC = \frac{1}{3}$，且满足 $\overrightarrow{AO} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$，则 $x + y$ 的最大值为 ____。

参考解答

解析

延长 $AO$ 交 $BC$ 于点 $D$，设 $\overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AO} = \lambda x \overrightarrow{AB} + \lambda y \overrightarrow{AC}$，由于 $B, D, C$ 三点共线则 $\lambda x + \lambda y = 1$，即

$x + y = \frac{1}{\lambda} = \frac{AO}{AD} = \frac{AO}{AO + OD} = \frac{1}{1 + \frac{OD}{OA}}$

过 $O$ 做 $BC, AB$ 的垂线．垂足分别为 $E, F$．

由 $\cos \angle BAC = \frac{1}{3}$，得 $\cos \angle OAF = \sqrt{\frac{2}{3}}$，
$\sin \angle OAF = \sqrt{\frac{1}{3}}$，则 $\frac{OE}{OA} = \frac{OF}{OA} = \sqrt{\frac{1}{3}}$，
又因为 $OD \geqslant OE$，所以 $\frac{OD}{OA} \geqslant \frac{OE}{OA} = \frac{OF}{OA} = \sqrt{\frac{1}{3}}$，
所以

$x + y \leqslant \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{3}}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

答案： $\displaystyle \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$