每日一题 2026-03-14

每日一题 2026-03-14

如图，在扇形 $OAB$ 中，$\angle AOB = 60^\circ$，$|\overrightarrow{OA}| = 1$，$C$ 为弧 $\overset{\frown}{AB}$ 上的一个动点。若 $\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$，则 $x + 4y$ 的取值范围是 ______。

参考解答

答案： $[1, 4]$

解析

取 $\overrightarrow{OE} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{OB}$，

∵ $\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$，

∴ $\dfrac{1}{x+4y}\overrightarrow{OC} = \dfrac{x}{x+4y}\overrightarrow{OA} + \dfrac{y}{x+4y}\overrightarrow{OB}$，

∴ $\dfrac{1}{x+4y}\overrightarrow{OC} = \dfrac{x}{x+4y}\overrightarrow{OA} + \dfrac{4y}{x+4y} \cdot \dfrac{1}{4}\overrightarrow{OB}$，

令 $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{x+4y}\overrightarrow{OC}$，所以 $O$、$M$、$C$ 三点共线，

又∵ $\overrightarrow{OM} = \dfrac{x}{x+4y}\overrightarrow{OA} + \dfrac{4y}{x+4y}\overrightarrow{OE}$，所以 $A$、$M$、$E$ 三点共线，

∴ $x + 4y = \dfrac{|\overrightarrow{OC}|}{|\overrightarrow{OM}|}$，

∵ $|\overrightarrow{OC}| = 1$，由图易知 $|\overrightarrow{OM}| \in \left[\dfrac{1}{4}, 1\right]$，

∴ $x + 4y \in [1, 4]$。