每日一题 2026-04-06

若 $\triangle ABC$ 中满足 $2 \sin A + \sin B = 2 \sin C$, 求 $\dfrac{5}{\sin A} + \dfrac{9}{\sin C}$ 的最小值。

参考解答

析：条件给出 $\sin B$ 与 $\sin A,\sin C$ 的关系，利用正弦定理将角度关系转化为边长关系，或直接利用三角恒等变换。关键在于利用 $A+B+C=\pi$ 确定 $\sin B = \sin(A+C)$，进而得到 $\tan\frac{C}{2}$ 与 $\tan\frac{A}{2}$ 的比例关系，再换元用基本不等式求最值。

解：

由 $2\sin A + \sin B = 2\sin C$ 得

$\sin B = 2(\sin C - \sin A)$

利用 $B = \pi - (A+C)$，有 $\sin B = \sin(A+C)$，代入得

$\sin(A+C) = 2(\sin C - \sin A)$

左边用和差化积，右边用倍角公式：

$2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2} = 4\sin\frac{C-A}{2}\cos\frac{C+A}{2}$

利用 $\cos\frac{C+A}{2} = \sin\frac{B}{2}$ 及和差化积公式简化，可得

$\sin\frac{A+C}{2} = 2\sin\frac{C-A}{2}$

进而得到 $\displaystyle \tan\frac{C}{2} = 3\tan\frac{A}{2}$。

设 $\tan\frac{A}{2} = k > 0$，则 $\tan\frac{C}{2} = 3k$。

由半角公式 $\sin A = \dfrac{2k}{1+k^2}$，$\sin C = \dfrac{2\cdot 3k}{1+(3k)^2} = \dfrac{6k}{1+9k^2}$，代入原式：

$\frac{5}{\sin A} + \frac{9}{\sin C} = \frac{5(1+k^2)}{2k} + \frac{9(1+9k^2)}{6k} = \frac{5+5k^2}{2k} + \frac{3+27k^2}{2k} = \frac{8+32k^2}{2k} = 16k + \frac{4}{k}$

由基本不等式 $16k + \dfrac{4}{k} \ge 2\sqrt{16\cdot 4} = 16$。

等号在 $16k = \dfrac{4}{k}$，即 $k = \dfrac{1}{2}$ 时取得，此时 $\tan\dfrac{A}{2} = \dfrac{1}{2}$，$\tan\dfrac{C}{2} = \dfrac{3}{2}$。

【点评】本题的核心在于两步转化：其一，利用三角恒等变换从条件得到 $\tan\dfrac{C}{2}=3\tan\dfrac{A}{2}$；其二，利用半角公式将对 $\sin A,\sin C$ 的依赖转化为对单一变量 $k$ 的函数，再用基本不等式求最值。半角公式 $\sin\theta = \dfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$ 是连接角度与三角函数的桥梁。

答案：$\displaystyle 16$