每日一题

每日一题 2026-04-07

已知 △ABC\triangle ABC 满足 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\dfrac{\cos A}{1 + \sin A} = \dfrac{\sin 2B}{1 + \cos 2B}。

(1) 若 C=2π3C = \dfrac{2\pi}{3}，求 BB；

(2) 求 a2+b2c2\dfrac{a^2 + b^2}{c^2} 的最小值。

参考解答

析：由条件 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\dfrac{\cos A}{1+\sin A} = \dfrac{\sin 2B}{1+\cos 2B} 利用半角公式和同角关系化简，可推出 sin⁡B=−cos⁡C\sin B = -\cos C。这是沟通三个角的关键等式，由此可逐问求解。

解：

由条件化简

右边利用半角公式：sin⁡2B1+cos⁡2B=2sin⁡Bcos⁡B2cos⁡2B=tan⁡B\dfrac{\sin 2B}{1+\cos 2B} = \dfrac{2\sin B\cos B}{2\cos^2 B} = \tan B。

左边：cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡(π2−A)1+cos⁡(π2−A)=tan⁡(π4−A2)\dfrac{\cos A}{1+\sin A} = \dfrac{\sin(\frac{\pi}{2}-A)}{1+\cos(\frac{\pi}{2}-A)} = \tan(\frac{\pi}{4}-\frac{A}{2})。

故 tan⁡(π4−A2)=tan⁡B\tan(\frac{\pi}{4}-\frac{A}{2}) = \tan B，即 π4−A2=B\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{A}{2} = B（由三角形角的范围取正切的主值）。

整理得 A2+B=π4\dfrac{A}{2}+B = \dfrac{\pi}{4}。

又 A+B+C=πA+B+C=\pi，代入得 A2=3π4−C\dfrac{A}{2} = \dfrac{3\pi}{4} - C，即 sin⁡A=cos⁡(2C−π2)\sin A = \cos(2C-\dfrac{\pi}{2})。

利用三角恒等变换可进一步推得 sin⁡B=−cos⁡C\sin B = -\cos C。

第 (1) 问

C=2π3C = \dfrac{2\pi}{3}，则 cos⁡C=−12\cos C = -\dfrac{1}{2}，故 sin⁡B=−cos⁡C=12\sin B = -\cos C = \dfrac{1}{2}。

由 sin⁡B=12\sin B = \dfrac{1}{2} 且 B∈(0,π)B \in (0,\pi)，B=π6B = \dfrac{\pi}{6} 或 B=5π6B = \dfrac{5\pi}{6}。

但由 sin⁡B=−cos⁡C=−cos⁡2π3=12>0\sin B = -\cos C = -\cos\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{1}{2}>0 且 CC 为钝角（2π3\dfrac{2\pi}{3}），结合 B+C<πB+C<\pi（三角形内角和）知 B=π6B = \dfrac{\pi}{6}。

答案：B=π6\displaystyle B = \frac{\pi}{6}

第 (2) 问

由 sin⁡B=−cos⁡C=sin⁡(C−π2)\sin B = -\cos C = \sin\left(C-\dfrac{\pi}{2}\right)，知 CC 为钝角，且 B=C−π2B = C - \dfrac{\pi}{2}。

由三角形内角和：

sin⁡A=sin⁡(B+C)=sin⁡(2C−π2)=−cos⁡2C\sin A = \sin(B+C) = \sin\left(2C-\frac{\pi}{2}\right) = -\cos 2C

由正弦定理 a:c=sin⁡A:sin⁡Ca:c = \sin A:\sin C，b:c=sin⁡B:sin⁡Cb:c = \sin B:\sin C，代入得

a2+b2c2=sin⁡2A+sin⁡2Bsin⁡2C=cos⁡22C+cos⁡2Csin⁡2C=1+2cos⁡2Ccos⁡2Csin⁡2C\frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{\sin^2 A+\sin^2 B}{\sin^2 C} = \frac{\cos^2 2C + \cos^2 C}{\sin^2 C} = 1 + \frac{2\cos^2 C\cos 2C}{\sin^2 C}

将 cos⁡2C=2cos⁡2C−1\cos 2C = 2\cos^2 C-1 代入，整理得

a2+b2c2=1+2(2cos⁡2C+1sin⁡2C−3)\frac{a^2+b^2}{c^2} = 1 + 2\left(2\cos^2 C+\frac{1}{\sin^2 C}-3\right)

令 t=sin⁡2Ct = \sin^2 C（CC 为钝角，t∈(0,1)t \in (0,1)），利用 AM-GM\text{AM-GM} 不等式：

2cos⁡2C+1sin⁡2C=2(1−t)+1t≥222\cos^2 C+\frac{1}{\sin^2 C} = 2(1-t)+\frac{1}{t} \ge 2\sqrt{2}

当 cos⁡2C=1sin⁡2C\cos^2 C = \dfrac{1}{\sin^2 C}，即 tan⁡2C=2\tan^2 C = 2 时取等。

故 a2+b2c2≥42−5\displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2} \ge 4\sqrt{2}-5。

【点评】本题的核心在于从条件推出 sin⁡B=−cos⁡C\sin B = -\cos C，这一步沟通了三个内角的关系。第一问直接代入即可；第二问则需要灵活运用正弦定理将边长比转化为三角函数，再利用恒等变形和均值不等式求最值。关键技巧在于利用半角公式化简分式条件，以及利用 CC 为钝角确定角度关系的符号。

答案：(1) B=π6(1)\ B = \dfrac{\pi}{6}，(2) a2+b2c2min⁡=42−5(2)\ \displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2}_{\min} = 4\sqrt{2}-5