每日一题 2026-04-08

在锐角三角形 $ABC$ 中，已知：

$2 \sin^2 A + \sin^2 B = 2 \sin^2 C$

求 $\dfrac{1}{\tan A} + \dfrac{1}{\tan B} + \dfrac{1}{\tan C}$ 的最小值。

参考解答

析

利用正弦定理将边长关系转化为正弦关系，再通过余弦定理建立角之间的比例关系，求出 $\tan C = 3\tan A$，最后利用正切恒等式消元并用基本不等式求最值。

解

第一步：正弦定理转化
由 $2\sin^2 A + \sin^2 B = 2\sin^2 C$ 得 $2a^2 + b^2 = 2c^2$。

第二步：余弦定理建立角的关系
由 $c^2 = a^2 + \dfrac{b^2}{2}$，代入余弦定理：

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{b}{4a}$

利用正弦定理 $\dfrac{b}{a} = \dfrac{\sin B}{\sin A}$，得 $\cos C = \dfrac{\sin B}{4\sin A}$。

第三步：三角变换求 $\tan C$
由 $\sin B = \sin(A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$ 代入并整理得 $\tan C = 3\tan A$。

第四步：三角形正切恒等式
在三角形中 $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$，代入 $\tan C = 3\tan A$ 得 $\tan B = \dfrac{4\tan A}{3\tan^2 A - 1}$。

第五步：代入目标表达式

$\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C} = \frac{13}{12\tan A} + \frac{3}{4}\tan A$

第六步：AM-GM 不等式

$\frac{13}{12\tan A} + \frac{3}{4}\tan A \geq 2\sqrt{\frac{13}{12\tan A} \cdot \frac{3}{4}\tan A} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

当且仅当 $\tan^2 A = \dfrac{13}{9}$ 时取等。

【点评】

处理三角形中涉及正切的多元最值问题，常用正切恒等式 $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ 进行消元。关键在于边角互化——通过正弦定理和余弦定理建立边与角之间的关系。

答案：$\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{2}$