高中向量

每日一题 2026-04-09

每日一题 2026-04-09

在 △ABC 中，BD→=DE→=EC→\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{EC}，AB→⋅AD→=2AC→⋅AE→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE}，则 sin⁡B\sin B 的最大值为 ‾\underline{\quad}。

参考解答

解析

由 BD→=DE→=EC→\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{EC}，D、E 为 BC 的三等分点。

第一步：向量分点公式

AD→=AB→+BD→=AB→+13BC→=AB→+13(AC→−AB→)=23AB→+13AC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}

AE→=AB→+BE→=AB→+23BC→=AB→+23(AC→−AB→)=13AB→+23AC→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}

第二步：代入向量等式

AB→⋅AD→=2AC→⋅AE→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE}

⇒AB→⋅(23AB→+13AC→)=2⋅AC→⋅(13AB→+23AC→)\Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right) = 2 \cdot \overrightarrow{AC} \cdot \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)

⇒23c2+13bccos⁡A=23bccos⁡A+43b2\Rightarrow \frac{2}{3}c^2 + \frac{1}{3}bc\cos A = \frac{2}{3}bc\cos A + \frac{4}{3}b^2

⇒2c2−bccos⁡A−4b2=0\Rightarrow 2c^2 - bc\cos A - 4b^2 = 0

第三步：用余弦定理

由余弦定理 cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}，代入得：

2c2−b2−c2+a22−4b2=02c^2 - b^2 - c^2 + \frac{a^2}{2} - 4b^2 = 0

⇒3c2−9b2+a2=0⇒b2=a2+3c29\Rightarrow 3c^2 - 9b^2 + a^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 = \frac{a^2 + 3c^2}{9}

第四步：求 cos⁡B\cos B

cos⁡B=a2+c2−b22ac=a2+c2−a2+3c292ac=8a2+6c218ac\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{a^2 + c^2 - \frac{a^2 + 3c^2}{9}}{2ac} = \frac{8a^2 + 6c^2}{18ac}

令 t=act = \dfrac{a}{c}，则：

cos⁡B=8t2+618t=4t2+39t\cos B = \frac{8t^2 + 6}{18t} = \frac{4t^2 + 3}{9t}

由均值不等式：

4t2+39t≥24t2⋅39t=439\frac{4t^2 + 3}{9t} \geq \frac{2\sqrt{4t^2 \cdot 3}}{9t} = \frac{4\sqrt{3}}{9}

当 4t2=34t^2 = 3，即 t=32t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} 时取等号。

第五步：求 sin⁡B\sin B 最大值

sin⁡B=1−cos⁡2B≤1−(439)2=3381=339\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} \leq \sqrt{1 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{9}\right)^2} = \sqrt{\frac{33}{81}} = \frac{\sqrt{33}}{9}

答案：339\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{9}