每日一题 2026-04-10

每日一题 2026-04-10

已知 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，$2\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC} = a^2(1 - \cos B) - ab\cos A$，$b = 2$。则 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ 的最大值为 _______。

参考解答

解析

设 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，$E$、$F$ 分别为 $O$ 在边 $AC$、$AB$ 上的投影。

第一步：向量转换

由向量运算：

$2\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AO} \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 2\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AB}$

利用外心性质（$E$、$F$ 为弦的中点），得：

$= b^2 - c^2$

第二步：利用已知条件

由题意：

$b^2 - c^2 = a^2(1 - \cos B) - ab\cos A = a^2 - a^2\cos B - ab\cos A$

整理得：

$a^2\cos B + ab\cos A = a^2 + c^2 - b^2$

由向量关系可得 $a^2 + c^2 - b^2 = 2ac\cos B$，代入：

$a\cos B + b\cos A = 2c\cos B$

根据射影定理 $a\cos B + b\cos A = c$，代入得：

$c = 2c\cos B \Rightarrow \cos B = \frac{1}{2}$

故 $B = \dfrac{\pi}{3}$。

第三步：求最大值

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = ac\cos B = \frac{1}{2}ac$

由余弦定理：

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B = a^2 + c^2 - ac$

由均值不等式：

$a^2 + c^2 \geqslant 2ac \Rightarrow a^2 + c^2 - ac \geqslant ac$

即 $b^2 \geqslant ac$。

已知 $b = 2$，故 $b^2 = 4 \geqslant ac$。

因此：

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}ac \leqslant \frac{1}{2} \times 4 = 2$

答案：$\displaystyle 2$