每日一题 2026-04-14

在 $\triangle ABC$ 中，求证：

$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C$

参考解答

析 本题为三角形中的三角恒等式证明，可采用几何法。构造 $\triangle ABC$ 的外接圆，利用圆心角与圆周角的关系，结合面积分割法进行证明。需注意分类讨论锐角三角形与钝角三角形两种情形。

解

情形一：当 $A, B, C$ 均为锐角时

作 $\triangle ABC$ 的外接圆 $O$，设外接圆半径为 $R$。

由圆心角与圆周角的关系：

$\angle BOC = 2A,\quad \angle COA = 2B,\quad \angle AOB = 2C$

$\triangle ABC$ 的面积等于三个小三角形面积之和：

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COA}$

由三角形面积公式 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ 及 $S = \dfrac{1}{2}R^2\sin\theta$（$\theta$ 为两边夹角）：

$\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}R^2\sin 2A + \frac{1}{2}R^2\sin 2B + \frac{1}{2}R^2\sin 2C$

由正弦定理：$a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，代入左边：

$\frac{1}{2}\cdot(2R\sin A)\cdot(2R\sin B)\cdot\sin C = \frac{1}{2}R^2(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$

化简得：

$2R^2\sin A\sin B\sin C = \frac{1}{2}R^2(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$

两边同除以 $\dfrac{1}{2}R^2$：

$4\sin A\sin B\sin C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$

情形二：当 $A, B, C$ 其中一个为钝角时

不妨设 $A$ 为钝角，则 $\angle BOC = 2(\pi - A) = 2\pi - 2A$（优弧对应的圆心角）。

此时 $\triangle ABC$ 的面积关系为：

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOC}$

或用有向面积表示，证明过程类似，结论仍然成立。

综上，原等式得证。$\quad\blacksquare$

【点评】 本题用几何法证明三角恒等式，关键步骤：(1) 构造外接圆，利用圆心角与圆周角的关系；(2) 面积分割，将 $\triangle ABC$ 分割为三个以 $O$ 为顶点的小三角形；(3) 灵活运用面积公式 $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ 和 $S=\dfrac{1}{2}R^2\sin\theta$；(4) 正弦定理将边长用 $R$ 和角表示；(5) 分类讨论锐角与钝角情形。此题体现了数形结合思想的妙用。

拓展思考：

1. 能否用纯代数方法（三角恒等变换）证明此结论？
2. 若 $\triangle ABC$ 为直角三角形，等式是否仍成立？
3. 此恒等式有哪些变形或推广？