高中数学

每日一题：2026-04-12

题目

在锐角 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对边分别是 aa，bb，cc，若 b=2b=2，B=π4B=\dfrac{\pi}{4}，则 a2+c2a^2+c^2 的取值范围是______。

参考解答

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解析：

由正弦定理得：

asin⁡A=csin⁡C=bsin⁡B=2sin⁡π4=22\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}=\frac{2}{\sin\frac{\pi}{4}}=2\sqrt{2}

可得：

a=22sin⁡A,c=22sin⁡Ca=2\sqrt{2}\sin A,\quad c=2\sqrt{2}\sin C

因为 A+C=3π4A+C=\dfrac{3\pi}{4}，且 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，所以：

A=3π4−C∈(0,π2)⇒C∈(π4,π2)A=\frac{3\pi}{4}-C\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad C\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)

于是：

a2+c2=8sin⁡2(3π4−C)+8sin⁡2C=8⋅1−cos⁡(3π2−2C)2+8⋅1−cos⁡2C2=4+4sin⁡2C+4−4cos⁡2C=8+42sin⁡(2C−π4)\begin{aligned} a^2+c^2 &= 8\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}-C\right)+8\sin^2 C \\ &= 8\cdot\frac{1-\cos\left(\frac{3\pi}{2}-2C\right)}{2}+8\cdot\frac{1-\cos 2C}{2} \\ &= 4+4\sin 2C+4-4\cos 2C \\ &= 8+4\sqrt{2}\sin\left(2C-\frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}

又 C∈(π4,π2)C\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)，所以 2C−π4∈(π4,3π4)2C-\dfrac{\pi}{4}\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right)。

当 2C−π4=π22C-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2} 时，sin⁡(2C−π4)\sin\left(2C-\dfrac{\pi}{4}\right) 取最大值 11，此时：

a2+c2=8+42a^2+c^2=8+4\sqrt{2}

当 2C−π4→π42C-\dfrac{\pi}{4}\to\dfrac{\pi}{4} 或 2C−π4→3π42C-\dfrac{\pi}{4}\to\dfrac{3\pi}{4} 时，sin⁡(2C−π4)→22\sin\left(2C-\dfrac{\pi}{4}\right)\to\dfrac{\sqrt{2}}{2}，此时：

a2+c2→8+42⋅22=12a^2+c^2\to 8+4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=12

答案：(12,8+42]\displaystyle \left(12,8+4\sqrt{2}\right]

解题小结

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，以及三角函数求取值范围的方法。关键步骤：

  1. 利用正弦定理将边长 a,ca,c 用角 A,CA,C 表示
  2. 利用锐角三角形条件确定角 CC 的取值范围
  3. 三角恒等变换将 a2+c2a^2+c^2 化为单一三角函数形式
  4. 根据角的范围确定三角函数的最值

拓展思考

若将条件"锐角三角形"改为"三角形"，则 a2+c2a^2+c^2 的取值范围会如何变化？