高中数学

每日一题 2026-04-16

每日一题 2026-04-16

已知△ABC 三个内角 AA、BB、CC 所对的边分别为 aa、bb、cc，若△ABC 面积为 11，则 a2+1sin⁡A\displaystyle a^2 + \frac{1}{\sin A} 的最小值为 _______

参考解答

解析

步骤 1：利用面积公式

由三角形面积公式：

S△ABC=12bcsin⁡A=1  ⟹  bcsin⁡A=2  ⟹  bc=2sin⁡AS_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}bc\sin A = 1 \implies bc\sin A = 2 \implies bc = \frac{2}{\sin A}

步骤 2：利用余弦定理和基本不等式

由余弦定理：

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

由基本不等式 b2+c2≥2bcb^2 + c^2 \geq 2bc（当且仅当 b=cb=c 时取等号）：

a2≥2bc−2bccos⁡A=2bc(1−cos⁡A)a^2 \geq 2bc - 2bc\cos A = 2bc(1 - \cos A)

步骤 3：构造目标函数

设目标式为 uu：

u=a2+1sin⁡A≥2bc(1−cos⁡A)+1sin⁡Au = a^2 + \frac{1}{\sin A} \geq 2bc(1 - \cos A) + \frac{1}{\sin A}

将 bc=2sin⁡Abc = \frac{2}{\sin A} 代入：

u≥2⋅2sin⁡A(1−cos⁡A)+1sin⁡A=4(1−cos⁡A)+1sin⁡A=5−4cos⁡Asin⁡Au \geq 2 \cdot \frac{2}{\sin A}(1 - \cos A) + \frac{1}{\sin A} = \frac{4(1 - \cos A) + 1}{\sin A} = \frac{5 - 4\cos A}{\sin A}

步骤 4：求最值

令 y=5−4cos⁡Asin⁡A\displaystyle y = \frac{5 - 4\cos A}{\sin A}，则：

ysin⁡A=5−4cos⁡A  ⟹  ysin⁡A+4cos⁡A=5y\sin A = 5 - 4\cos A \implies y\sin A + 4\cos A = 5

由辅助角公式：

y2+16sin⁡(A+β)=5其中tan⁡β=4y\sqrt{y^2 + 16}\sin(A + \beta) = 5 \quad \text{其中} \tan\beta = \frac{4}{y}

由于 ∣sin⁡(A+β)∣≤1|\sin(A + \beta)| \leq 1：

5y2+16≤1  ⟹  25≤y2+16  ⟹  y2≥9  ⟹  y≥3\frac{5}{\sqrt{y^2 + 16}} \leq 1 \implies 25 \leq y^2 + 16 \implies y^2 \geq 9 \implies y \geq 3

因此 umin⁡=3u_{\min} = 3，当且仅当 sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5}，cos⁡A=45\cos A = \frac{4}{5}，且 b=c=103b = c = \sqrt{\frac{10}{3}} 时取等号。

答案：3\displaystyle 3