每日一题：2026-04-17

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$AC = 5$，且满足：

$\displaystyle \frac{1}{\tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{\tan\frac{C}{2}} - \frac{5}{\tan\frac{B}{2}} = 0$

求 $BC + AB$ 的值。

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参考解答

解析：

第一步：设内切圆切点分段

设 $\triangle ABC$ 的内切圆与各边切点将三边分为：

• 从顶点 $A$ 出发的切线长为 $x$
• 从顶点 $B$ 出发的切线长为 $z$
• 从顶点 $C$ 出发的切线长为 $y$

则三边长为：

$AB = c = x + z$

$BC = a = z + y$

$AC = b = x + y = 5$

第二步：利用内切圆公式

设内切圆半径为 $r$，根据内切圆的几何性质：

$\tan\frac{A}{2} = \frac{r}{x}, \quad \tan\frac{B}{2} = \frac{r}{z}, \quad \tan\frac{C}{2} = \frac{r}{y}$

第三步：代入已知条件

将上述公式代入原方程 $\displaystyle \frac{1}{\tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{\tan\frac{C}{2}} - \frac{5}{\tan\frac{B}{2}} = 0$：

$\frac{x}{r} + \frac{y}{r} - \frac{5z}{r} = 0$

约去 $r$（$r \neq 0$）：

$x + y - 5z = 0$

第四步：求解

由于 $x + y = AC = 5$，代入上式得：

$5 - 5z = 0 \implies z = 1$

因此：

$BC + AB = (z + y) + (x + z) = x + y + 2z = 5 + 2 \times 1 = 7$

答案： $\displaystyle 7$

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来源：学生提问 | 难度：★★★☆ | 建议用时：8-10 分钟