每日一题：2026-06-25

题目

如图，已知正八面体 $S-ABCD-T$（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为 $2$，其中四边形 $ABCD$ 为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为 $O$，则以下结论正确的是（　　）

A. 点 $O$ 到平面 $CDT$ 的距离等于 $1$
B. 点 $O$ 到直线 $CT$ 的距离等于 $1$
C. 球 $O$ 在正八面体外部的体积小于 $\left( \dfrac{4}{3} - \dfrac{8}{27}\sqrt{6} \right)\pi$
D. 球 $O$ 在正八面体外部的面积大于 $\dfrac{8}{3}\sqrt{6 - 2\sqrt{6}}\,\pi$

参考解答

答案：$\displaystyle \text{BCD}$

解析：

由对称性可知棱切球球心 $O$ 就是正八面体的中心，而 $BO = \dfrac{1}{2}BD = \sqrt{2}$，
所以 $OA = OB = OC = OD = OS = OT = \sqrt{2}$。

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对于选项 A：

设点 $O$ 到平面 $CDT$ 的距离为 $r$，有

$\frac{1}{3} OT \cdot \frac{1}{2} OC \cdot OD = V_{O-CDT} = \frac{1}{3} r \cdot S_{\triangle CDT} = \frac{1}{3} r \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{3} r.$

故

$r = \frac{\sqrt{3}}{3} OT \cdot \frac{1}{2} OC \cdot OD = \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{3} \neq 1,$

所以 A 错误。

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对于选项 B：

由于 $TA = TB = TC = TD = 2$，故 $T$ 在平面 $ABCD$ 上的投影就是正方形 $ABCD$ 的中心，
故 $OT \perp$ 平面 $ABCD$，而 $OC$ 在平面 $ABCD$ 内，故 $OC \perp OT$。

又因为 $OC = OT = \sqrt{2}$，知点 $O$ 到直线 $CT$ 的距离

$h = \frac{2S_{\triangle OCT}}{CT} = \frac{OC \cdot OT}{CT} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 1,$

所以 B 正确。

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对于选项 C：

球 $O$ 的半径 $R$ 等于点 $O$ 到直线 $CT$ 的距离，即 $R = 1$。
从而平面 $CDT$ 截棱切球所得圆的半径

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3},$

设这个圆为圆 $P$。

设球 $O$ 的体积为 $V$，而以 $O$ 为顶点、圆 $P$ 为底面的圆锥的体积为 $V_1$，
则棱切球在正八面体内部的体积大于 $8V_1$。

从而球 $O$ 在正八面体外部的体积小于

$V - 8V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3 - 8 \cdot \frac{1}{3}\pi d^2 r = \frac{4}{3}\pi - 8 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \left( \frac{4}{3} - \frac{8\sqrt{6}}{27} \right)\pi,$

所以 C 正确。

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对于选项 D：

球 $O$ 在正八面体外部的面积等于正八面体外部 $8$ 个球冠的表面积。
而对于一个球冠而言，由其顶点和底面可以确定一个圆锥，而该圆锥的侧面积一定小于球冠的表面积。
从而，每个球冠的表面积都大于由该球冠顶点和底面圆确定的圆锥的侧面积。

该圆锥的底面半径 $d = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，高 $H = R - r = 1 - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$，故母线长

$l = \sqrt{d^2 + H^2} = \sqrt{ \frac{1}{3} + \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 } = \sqrt{ 2 - \frac{2\sqrt{6}}{3} }.$

所以每个球冠的表面积都大于该圆锥的侧面积

$\pi d l = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}} \cdot \pi = \frac{1}{3} \sqrt{6 - 2\sqrt{6}} \, \pi.$

所以 $8$ 个球冠的表面积之和大于 $\dfrac{8}{3} \sqrt{6 - 2\sqrt{6}}\, \pi$，故 D 正确。

故 答案选：BCD 💯