每日一题：2026-06-24

题目

已知正三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 的底面边长为 $2$，$D$ 为 $AA_1$ 中点。

(1) 若 $AA_1 = 2$，证明：$BC_1 \perp$ 平面 $B_1DC$；

(2) 若 $A_1C$ 与 $C_1D$ 交于点 $M$，$BD$ 与 $AB_1$ 交于点 $N$，直线 $MN$ 与平面 $ABC$ 夹角的余弦值为 $\dfrac{2}{3}$，求三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 的体积．

参考解答

解析：

(1) 连接 $B_1C$、$BC_1$，且 $B_1C \cap BC_1 = O$，连接 $DO$．

因为在正三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，底面边长为 $2$，$AA_1 = 2$，所以侧面都是边长为 $2$ 的正方形．

在正方形 $BCC_1B_1$ 中，$BC_1 \perp B_1C$．

又因为 $DB = DC_1$，$O$ 为 $BC_1$ 中点，所以 $\triangle DBC_1$ 为等腰三角形，$DO$ 是底边 $BC_1$ 的中线，所以 $DO \perp BC_1$．

又因为 $B_1C \subset$ 面 $B_1DC$，$DO \subset$ 面 $B_1DC$，且 $B_1C \cap DO = O$，所以 $BC_1 \perp$ 面 $B_1DC$．

(2) 法一：几何法

连接 $BC_1$，由 $\dfrac{DN}{DB} = \dfrac{DM}{DC_1}$ 可得 $MN \parallel BC_1$．

记 $BC_1$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $\alpha$．由于 $CC_1 \perp$ 平面 $ABC$，$BC$ 是 $BC_1$ 在平面 $ABC$ 上的投影，则 $\alpha = \angle CBC_1$．

根据线面角的定义，$\cos\alpha = \cos\angle CBC_1 = \dfrac{BC}{BC_1} = \dfrac{2}{3}$．

在 Rt $\triangle BCC_1$ 中，由 $\cos\alpha = \dfrac{BC}{BC_1} = \dfrac{2}{3}$ 且 $BC = 2$，得 $BC_1 = 3$．

由勾股定理：$CC_1 = \sqrt{BC_1^2 - BC^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}$．

所以 $V = Sh = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 \times \sqrt{5} = \sqrt{15}$．

答案：$\displaystyle \sqrt{15}$