每日一题：2026-06-24

题目

已知正三棱柱 的底面边长为 ， 为 中点。

(1) 若 ，证明： 平面 ；

(2) 若 与 交于点 ， 与 交于点 ，直线 与平面 夹角的余弦值为 ，求三棱柱 的体积．

参考解答

解析： (1) 连接 、，且 ，连接 ． 因为在正三棱柱 中，底面边长为 ，，所以侧面都是边长为 的正方形． 在正方形 中，． 又因为 ， 为 中点，所以 为等腰三角形， 是底边 的中线，所以 ． 又因为 面 ， 面 ，且 ，所以 面 ． (2) 法一：几何法 连接 ，由 可得 ． 记 与平面 所成角为 ．由于 平面 ， 是 在平面 上的投影，则 ． 根据线面角的定义，． 在 Rt 中，由 且 ，得 ． 由勾股定理：． 所以 ． 答案：