数学►高中数学

每日一题：2026-06-27

题目

已知三棱锥 A−BCDA-BCD 中，二面角 A−BC−DA-BC-D 为 60∘60^\circ，棱 ADAD 与平面 ABCABC 和平面 BCDBCD 所成的角均为 θ\theta，ADAD 与 BCBC 所成的角为 π2−θ\dfrac{\pi}{2} - \theta，则 tan⁡θ=\tan\theta =（　　）

A. 12\dfrac{1}{2}
B. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
C. 255\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
D. 277\dfrac{2\sqrt{7}}{7}

参考解答

答案：32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}，选 B

解析：

如图，过点 AA 作 AO⊥AO \perp 平面 BCDBCD 于 OO，过 AA 作 AE⊥BCAE \perp BC 于 EE，连接 OEOE．

由三垂线定理：OE⊥BCOE \perp BC，故二面角 A−BC−DA-BC-D 的平面角为 ∠AEO=60∘\angle AEO = 60^\circ．

设 AD=2AD = 2，因为 ADAD 与平面 ABCABC、平面 BCDBCD 所成角均为 θ\theta，
则 AA 到平面 BCDBCD 的距离为 AO=ADsin⁡θ=2sin⁡θAO = AD\sin\theta = 2\sin\theta．

在 Rt△AOE\text{Rt}\triangle AOE 中，∠AEO=60∘\angle AEO = 60^\circ，所以

AE=AOsin⁡60∘=2sin⁡θ32=4sin⁡θ3.AE = \frac{AO}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sin\theta}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sin\theta}{\sqrt{3}}.

同理，作 DF⊥BCDF \perp BC 于 FF，可得 DF=AE=4sin⁡θ3DF = AE = \dfrac{4\sin\theta}{\sqrt{3}}．

由于 E,FE,F 均在 BCBC 上，故 EF∥BCEF \parallel BC，从而

∠(AD,BC)=∠(AD,EF)=π2−θ.\angle(AD, BC) = \angle(AD, EF) = \frac{\pi}{2} - \theta.

于是

cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ=∣EF∣∣AD∣=∣EF∣2⟹∣EF∣=2sin⁡θ.\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta = \frac{|EF|}{|AD|} = \frac{|EF|}{2} \quad\Longrightarrow\quad |EF| = 2\sin\theta.

将 AD→\overrightarrow{AD} 分解：

AD→=AE→+EF→+FD→,\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FD},

其中 AE→, FD→⊥EF→\overrightarrow{AE},\ \overrightarrow{FD} \perp \overrightarrow{EF}，且 AE→\overrightarrow{AE} 与 FD→\overrightarrow{FD} 的夹角为 120∘120^\circ（二面角 60∘60^\circ 的补角）．

所以

∣AD→∣2=∣AE→∣2+∣EF→∣2+∣FD→∣2+2 AE→⋅FD→=(4sin⁡θ3)2+(2sin⁡θ)2+(4sin⁡θ3)2+2⋅16sin⁡2θ3⋅cos⁡120∘=16sin⁡2θ3+4sin⁡2θ+16sin⁡2θ3+2⋅16sin⁡2θ3⋅(−12)=32sin⁡2θ3+12sin⁡2θ3−16sin⁡2θ3=283sin⁡2θ.\begin{aligned} |\overrightarrow{AD}|^2 &= |\overrightarrow{AE}|^2 + |\overrightarrow{EF}|^2 + |\overrightarrow{FD}|^2 + 2\,\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{FD} \\[4pt] &= \left(\frac{4\sin\theta}{\sqrt{3}}\right)^2 + (2\sin\theta)^2 + \left(\frac{4\sin\theta}{\sqrt{3}}\right)^2 + 2\cdot\frac{16\sin^2\theta}{3}\cdot\cos120^\circ \\[4pt] &= \frac{16\sin^2\theta}{3} + 4\sin^2\theta + \frac{16\sin^2\theta}{3} + 2\cdot\frac{16\sin^2\theta}{3}\cdot\left(-\frac12\right) \\[4pt] &= \frac{32\sin^2\theta}{3} + \frac{12\sin^2\theta}{3} - \frac{16\sin^2\theta}{3} \\[4pt] &= \frac{28}{3}\sin^2\theta. \end{aligned}

又 ∣AD→∣=2|\overrightarrow{AD}| = 2，故

4=283sin⁡2θ⟹sin⁡2θ=37,cos⁡2θ=1−37=47.4 = \frac{28}{3}\sin^2\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin^2\theta = \frac{3}{7}, \quad \cos^2\theta = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}.

因此

tan⁡2θ=sin⁡2θcos⁡2θ=3/74/7=34⟹tan⁡θ=32.\tan^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{3/7}{4/7} = \frac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad \tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}.

故 答案选 B．💯