题目
如图，在四棱锥 中， 平面 ，，，，，，点 是棱 上的一点（不同于 、 两点）。
（1） 求证：平面 平面 ；
（2） 若 ，求二面角 的正切值；
（3） 若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长。
参考解答
解析：
本题采用纯几何方法，综合利用勾股定理、余弦定理、线面垂直判定与性质、二面角的平面角构造、正弦定理等知识求解。
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（1） 求证：平面 平面
因为 ，，，
所以 ，。
在 中，由余弦定理得：
于是 ，由勾股定理逆定理得：
因为 平面 ， 平面 ，
所以 。
又 ， 平面 ，
因此 平面 。
而 平面 ，
所以平面 平面 。
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（2） 若 ，求二面角 的正切值
如图，取 的中点 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 、。
第一步：证明 平面
由（1）知 平面 ，而 平面 ，
所以 ，。
因为 ，所以 为等腰直角三角形， 为 中点，故：
又 ， 平面 ，
所以 平面 。
第二步：构造二面角的平面角
因为 平面 ， 平面 ，
所以 。
又 （由作图可得），且 ， 平面 ，
所以 平面 。
而 平面 ，所以 。
于是 且 ，故 为二面角 的平面角。
第三步：计算
由于 ， 为 中点，，故：
在 中，（由第一步已证），故：
而 ，所以：
在 中：
在 中，，故：
在 中，，，故：
答案：
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（3） 若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长
如图，在平面 内，过点 作 ，垂足为 ，连接 。
思路： 先证明 为线面角，由已知正弦值求出 ，再利用平面几何中 的边角关系，通过正弦定理求得 。
第一步：确定线面角
因为 平面 ， 平面 ，
所以 。
又 （由作图可得），且 ， 平面 ，
所以 平面 。
于是 ，且 为直线 与平面 所成的角。
第二步：由 求
是 的斜边：
由 得：
第三步：确定 中的角
在 中，，，故：
由于 ， 与 互余（ 在 上），故：
于是：
在 中，已求得 ，，，
故 为等腰直角三角形，，即 。
第四步：在 中用正弦定理求
故：
在 中，由正弦定理：
代入：
答案：