每日一题：2026-06-26

题目

若函数 的定义域内存在 ，使得

$$\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} = 1$$

成立，则称该函数为”完整函数”。已知

$$f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2} \cos\left(\omega x + \frac{5\pi}{6}\right) \quad (\omega > 0)$$

是区间 上的”完整函数”，则 的取值范围为（　　）

A.
B.
C.
D.

参考解答

答案： 解析： 第一步：化简 故 。 第二步：理解"完整函数"条件 存在 使得 ，即 。 由于 的最大值为 ，最小值为 ，必有 即：在区间 上， 至少有两个不同的解。 第三步：求解 的范围 解方程 ，得 要求存在两个不同的整数 ，使得 ，即 两边同除以 并乘以 （），得 所以整数 需满足 即 要使上述区间内至少包含两个整数，区间长度需大于 ： 但还需验证具体的 值。考虑相邻的两个最大值点： 要求 。 取 时，（因 ），不在区间内。 取 时： 故 时， 两个解均在区间内。 当 时， 对应的 已不在区间内，但 对应的 可能进入区间，同时 对应的 也可能进入。随着 增大，相邻最大值点间距 变小，区间内总能包含至少两个解。 综上， 时，区间 上恒存在至少两个 的解。 故 的取值范围为 ，选 B。