题目
如图，三棱柱 - 的棱长均为 ，，，若 ，其中 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 。
参考解答
解析：
思路：取 的中点 ，先证 、、 两两垂直，再建系用向量求线面角的正弦值，最后换元成关于 的二次式求范围。
取 的中点 ，连接 、。因为 ，所以 ，，。又 ，，由余弦定理
所以 ，即 。又 ，所以 ，即 。于是 、、 两两垂直。
以 为原点，、、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则
由 得 ，于是
设平面 的法向量为 。由 、 得
取 ，，则 ，所以
设直线 与平面 所成的角为 ，则
令 ，由 得 ，于是
由 得 ，所以 ，从而
（ 随分母增大而减小，故分母取 时 最大，取 时最小。）所以
即直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 ：当 时取最大值 ，当 时取最小值 。
答案：