题目
若 、 为平面上两个定点，则满足 为常数的动点 的轨迹是直线，满足 的动点 的轨迹是圆。将此性质类比到空间中，解决下列问题：
已知点 、、、 为空间中四个定点，，且 、、 两两的夹角都是 ，若动点 满足 ，动点 满足 ，则 的最小值是 。
参考解答
解析：
思路：先由类比分别确定 、 的轨迹（一张平面、一个球面），再把 的最小值化为「球心到平面的距离 减去球的半径 」。
一、 的轨迹是一个平面
由 得 。取点 使 ，则 ，且
所以动点 的轨迹是过点 且以 为法向量的平面，记作 。
（直观理解： 说明 在 方向上的投影恒为 ，故 在与 垂直的平面 上； 是平面上沿 方向最「正」的那个点。）
二、 的轨迹是一个球面
即 ，由圆的 Thales 定理类比可知： 在以线段 为直径的球面上，球心 为 的中点，半径 。
由 及两两夹角 ，
故 ，。
三、化为球心到平面的距离
的最小值就是球心 到平面 的距离 减去半径 。因为 是 的中点，所以 ，从而 。又 ，，于是
即球面与平面 恰好相切（），切点既在球面上又在平面上，、 同时取作该切点时 取得最小值 。
答案：