题目
若一个几何系统中任意两点间的距离的最大值称为这个几何系统的”径区”，例如圆的径区即为其直径。则：
（1）设 是直角边长为 1 的等腰直角三角形，其中 。分别以 、、 为直径的三个圆构成一个几何系统，该系统的径区为 ；
（2）棱长为 2 的正方体 的棱切球（与该正方体所有棱都相切的球）与三角形 的外接圆构成一个几何系统，该系统的径区为 ；
（3）棱长为 2 的正方体 中，正方形 的内切圆与正方形 的内切圆构成一个几何系统，该系统的径区为 。
参考解答
解析：
（1）三个圆的半径分别为 、、，圆心分别是 、、 的中点 、、。
先看两点分别在不同圆上的情形。设两圆圆心为 、，半径分别为 、，则对圆上任意两点 、 有 ，当 、、、 依次共线时取到等号。由中位线定理，，，。于是
- 圆 与圆 上各取一点：；
- 圆 与圆 上各取一点：；
- 圆 与圆 上各取一点：。
两点在同一个圆上时，最大距离即该圆直径，三个圆直径分别为 、、，都不超过 。
所以该系统径区为 。
（2）棱切球的球心 即为正方体的中心。棱长为 2，中心到各棱的距离为 ，故棱切球半径 。
三角形 的三条边长都等于面对角线 ，所以它是正三角形，外接圆半径 ，外心 即该正三角形的中心。
以正方体中心为原点建立坐标系（各坐标轴与棱平行），可取 、、，于是 ，。
设 为外接圆上任意一点，则 ，即球心 到圆周上任意一点的距离恒为 。
两点分别取在球上与圆上时，，当 、、 三点共线且 在 、 之间时取到等号；两点取在同一个几何对象上时，球面上两点最大距离为球直径 ，圆周上两点最大距离为圆直径 。
而 ，所以该系统径区为 。
（3）以 为原点，、、 所在直线分别为 、、 轴建立空间直角坐标系。
正方形 的内切圆在 平面内，圆心为 ，半径 1；正方形 的内切圆在 平面内，圆心为 ，半径 1。
设 在第一个圆上， 在第二个圆上（、 为任意实数），则
注意 （辅助角公式），故
即 。等号成立当且仅当两处放缩同时取等：由 得 （此时 ），再得 ，即 。直接验证：此时 是 的中点， 是 的中点，。
两点在同一个圆上时，最大距离即该圆直径 ，小于 。
所以该系统径区为 。
答案：（1）；（2）；（3）