题目
已知正四面体 的棱长为 以及空间动点 ，下列说法正确的有（ ）
A. 该四面体的体积为
B. 若 在边 上（不包括端点），则 到 的距离的取值范围为
C. 若 在以 为直径的球面上，且直线 平面 ，则点 的轨迹长为
D. 若 ，则 的取值范围为
参考解答
解析：
思路：建立空间直角坐标系（把正四面体嵌入正方体，让它的六条棱成为正方体的六条面对角线），写出关键点坐标；A 用点到平面的距离求体积，B 用点到直线的距离，C 由位置关系判断轨迹形状后用弧长公式，D 先求 的轨迹方程，再用柯西不等式求范围。
设正方体棱长为 ，由 得 。以 为原点，以正方体过 的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则
A. ，，。设平面 的法向量为 ，则
取 ，得 ，，即 。于是点 到平面 的距离为
又 是边长为 的等边三角形，其面积 ，所以该正四面体的体积为
故 A 错误。
B. 设 （）。由 得
设 到直线 的距离为 。因为 ，，且
所以
当 时，，即 ：在 处取到下界 ，而 或 时 ，端点取不到，所以上界 取不到。故 B 正确。
C. 的中点为 ，以 为直径的球面半径为 ，其方程为
设 。由 平面 知 垂直于平面 内的每一条直线，特别地 ，即
（另一个条件 自动成立：由 得 。）
所以 的轨迹是球面与平面 的交线，即平面 内的一个圆（交线即为完整圆周）。球心 到平面 的距离为
所以截面圆的半径 ，点 的轨迹长为
故 C 正确。
D. 设 ，记正四面体的重心为 。由重心性质
结合已知 得 ，即 在以 为球心、 为半径的球面上：
又 ，，所以
记 ，，则 ，且
由柯西不等式
所以 ；又 可以取遍 ，当 、（此时 ）时 取到 ，当 、 时 取到 ，所以 。于是
故 D 正确。
答案：