题目
设椭圆 长轴的两个顶点分别为 、，点 为椭圆 上不同于 、 的一点，若 的三个内角 、、 满足 ，则椭圆 的离心率为 __。
参考解答
解析：
第一步：把角的条件化为 的值
因为 ，所以
代入条件 ，得
即
若 ，则 ，即 ，与三角形内角矛盾，故
即
第二步：把角的正切化为斜率
不妨设 在 轴上方，记 、、（）。则
所以
第三步：用坐标表示斜率之积
因为 在椭圆上，
代入上式：
所以
第四步：求离心率
补充说明：
一是 不可能：此时 ，只能 ，不是三角形的内角。
二是符号的说明：设 在 轴上方时 、，故 、，于是 、 都为正；这也说明 、 同为锐角（三角形不可能有两个钝角）。若 在 轴下方，情形对称，结论不变。
三是这个条件与 的位置无关：对任意 ，都有
所以"存在这样的 "等价于 ，解唯一；反过来当 时，椭圆上任意一点 （非长轴端点）都满足题设条件。
四是数值验证：取 、，对多个 值（）算得
均为 （误差约 ），且 恒为 。
答案：