题目
已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上异于左、右顶点的动点，记 内切圆的面积为 ，外接圆的面积为 ，若 的最小值为 ，则 的离心率为 __。
参考解答
解析：
设 ∠F₁PF₂ = θ，记 PF₁ = m，PF₂ = n，则
第一步：用 、 表示
由余弦定理
所以
第二步：求内切圆半径
又 △PF₁F₂ 的周长为
所以内切圆半径为
第三步：求外接圆半径
在 △PF₁F₂ 中，由正弦定理
其中 为外接圆半径，所以
第四步：写出面积比
利用 、，得
第五步：求最小值
由 与 得
又由 及均值不等式
所以
即
当 （即 为短轴端点）时取等号。
于是
所以
第六步：求离心率
由上式得
代入 ：
因为 ，两边约去 ：
所以
补充说明：
一是 的来历：由第一步 ，代入半角公式 即得。
二是 的等号条件： 固定时，乘积在 时最大，此时 为短轴端点， 取到最大值，也就是 S₂/S₁ 取到最小值。
三是与原解析的对照：原解析把 乘开后得到 ，化为 ，因式分解为 ，再由 得 ；本解先约去 再配方，殊途同归，且更直接。
四是数值检验：取 时， 对应 ， 在短轴端点处
而 与 时最小值均为 ， 与 时均为 ，只有 时恰为 。
答案：