每日一题: 2020-04-11
题目:
求函数$y=2|x-1|-3|x|$ 的最大值.
每日一题：2020-04-10
每日一题: 2020-04-10
题目:
如图所示, 已知$ABCD$ 为平行四边形,$AE\bot CD$ 于$E$, $AF\bot CB$ 于$F$. $FE,BD$相交于点$P$.
求证: $PA\bot AC$.
参考思路
如图以$A$ 为原点, $AB$ 所在直线为$x$ 轴, $AE$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系. 设$AB=1,AE=a, ED=b\Rightarrow C(b+1,a),B(1,0),D(b,a),E(0,a)$. 所以易得直线方程: $AD: y=\frac{a}{b}x, CB: y=\frac{a}{b}x-\frac{a}{b}, AC:y=\frac{b+1}{a}x$. 因为$AF\bot CB\Rightarrow AK: y=-\frac{b}{a}x$. 联立$AF,CB$ 可得$F$ 点坐标 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} y=-\frac{b}{a}x \\\\ y=\frac{a}{b}x-\frac{a}{b} \\end{array}\\right.\Rightarrow F\left( \frac{a^2}{a^2+b^2},-\frac{ab}{a^2+b^2} \right) . \\] 易求得$EF: y=-\frac{a^2+b^2+b}{a}x+a, BD: y=\frac{a}{b-1}x-\frac{a}{b-1}$, 联立得$P$ 点坐标 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} y=\frac{a}{b-1}x-\frac{a}{b-1} \\\\ y=-\frac{a^2+b^2+b}{a}x+a \\end{array}\\right.\Rightarrow P\left( \frac{a^2b}{a^2+(b-1)(a^2+b^2+b)},\frac{a^2b}{a^2+(b-1)(a^2+b^2+b)}\times \frac{a}{b-1}-\frac{a}{b-1} \right) \\] 通过计算可得: $AP: y=-\frac{b+1}{a}x$. 因为$-\frac{b+1}{a}\times \frac{a}{b+1}=-1$, 所以$PA\bot AC$. 注: 这里用到下面这个关系: 如果直线$l_1: y=k_1x+b_1, l_2: y=k_2x+b_2$, 则$l_1\bot l_2 \Leftrightarrow k_1\cdot k_2 =-1$. 每日一题：2020-04-09
每日一题: 2020-04-09
题目:
在平面直角坐标系中$A(0,8),B(4,0)$, $AB$ 的垂直平分线交$y$ 轴于点$D$, $M(a,1)$
为第一象限内的点, 当$S{ABD}=2S{MBD}$ 时, 求$a$ 的值(用两种方法做).
参考思路
如图所示, 设$DA=DB=x$, 所以$DO=8-x$, 且$OD^2+OB^2=DB^2\Rightarrow x=5\Rightarrow D(0,3)$. $S_{ABD}=\frac{1}{2}\times AD\times OB=10\Rightarrow S_{BDM}=5$. 因为$M$ 在第一象限,显然$M$ 在$BD$ 的右侧, 因此 \\[ S_{BDM}=S_{ODM}+S_{OBM}-S_{OBD}=\frac{3a}{2}+2-6=9\Rightarrow a=6 \\] 思路二: 过$B$ 作$BC\bot x$ 轴, 交$DM$ 于点$C$. $S_{BDM}=S_{BCD}+S_{BCM}=\frac{1}{2}\times BC\times |x_C-x_D|+\frac{1}{2}\times BC\times |x_M-x_C|=\frac{1}{2}\times BC\times a$. 求得$DM$ 的直线方程为: $y=-\frac{2}{a}x+3$,当$x=4$ 时可得$BC=-\frac{8}{a}+3$. 所以$\frac{1}{2}(-\frac{8}{3}+3)a=5\Rightarrow a=6$. 每日一题：2020-04-07
每日一题: 2020-04-07
题目:
如图所示, 在$\triangle ABC$ 外分别作正方形$ABEF$ 和$ACMN$, 再作$AH\bot BC$ 并
反向延长与$FN$ 交于点$D$. 请建立适当的平面直角坐标系用一次函数的方法证明$D$ 为
线段$FN$ 的中点.
参考思路
如图,以$H$ 为原点, $BC$ 所在直线为$x$ 轴$AH$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标 系, 分别过$F,N$ 作$y$ 轴的垂线, 垂足分别为$P,Q$, 设$AH=a,BH=b,CH=c$. 再由 $\triangle ABH\cong \triangle FAP, \triangle ACH\cong \triangle NAQ$ 可以求得 $F(-a,a+b),N(a,a+c)$, 可以求得直线$FN: y=\frac{c-b}{2a}x+a+\frac{b+c}{2}$. 令$x=0\Rightarrow y=a+\frac{b+c}{2}\Rightarrow D(0,a+\frac{b+c}{2})$. 又$\because F(-a,a+b),N(a,a+c)\Rightarrow FN$ 的中点为$(\frac{-a+a}{2},\frac{(a+b)+(a+c)}{2})$ 即$(0,a+\frac{b+c}{2})$. 所以$FN$ 的中点与点$D$ 重合, 即$D$ 为$FN$ 的中点. 每日一题：2020-04-06
每日一题: 2020-04-06
题目: 一次函数$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$ 的图象与$x$ 轴, $y$轴分别交于点$A,B$.
以$AB$ 为斜边向外作等腰直角三角形$ABC$.
(1) $l$ 为过点$C$ 的直线, 当$l$ 平分$\triangle ABC$ 的面积时求$l$ 的方程;
(2) 在$x$ 轴上求出所有的点$M$, 使得$\triangle ABM$ 为等腰三角形.
参考思路
如图所示, 过$C$ 作$CP\bot OB,CQ\bot OA$ 垂足分别为$P,Q$. $\because \triangle ABC$ 为等腰直角三角形, $\therefore \triangle CPB\cong \triangle CQA\Rightarrow CP=CQ$. 设$BP=AQ=x\Rightarrow 1+x=\sqrt{3}-x\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$, 因此有:$C\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right) $ 又由$l$ 平分$\triangle ABC$ 的面积,得$l$ 过$AB$ 的中点$E(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$. 所以易求得$l$ 的方程为:$y=\sqrt{3}x-1$. (2)分别以$A,B$ 为圆心$2$ 为半径的圆与$x$ 轴交于三点的$M_1(\sqrt{3}-2,0), M_2(\sqrt{3}+2,0), M_3(-\sqrt{3},0)$. 再作$AB$ 的垂直平分线与$x$ 轴交于点$M_4$, 用勾股定理可求得$M_4(\frac{\sqrt{3}}{3},0)$ 综上有$M_1,M_2,M_3,M_4$ 满足要求. 每日一题：2020-04-05
每日一题: 2020-04-05
题目:
如图所示, $ABCD$ 为矩形, $N$ 为平面内一点, 连$AN,DN$ 均与$BC$ 相交, 作$CP\bot AN$于点 $P$,
$BQ\bot DN$ 于点$Q$, 两垂线相交于点$M$, 连结$MN$. 证明: $MN\bot AD$.
参考思路
如图,分别过$N,B$ 作$AB,AN$ 的平行线交于点$T$, 连结$TC$, 设$CP,BQ$ 分别交$TB,TC$ 于$E,F$. 连结$TM$. 因为$ABTN$ 为平行四边形, 所以$\angle BTN=\angle BAN$. 另一方面在$\triangle BCT$ 中, $CE\bot TB, BF\bot TC$, 所以$M$ 为垂心, 故由$TM\bot BC$. 所以易得$\angle BTM=\angle BAN$,综上可得: $\angle BTN=\angle BTM\Rightarrow T,N,M$ 三点共线. 因此有$NM\bot BC$, 即$NM\bot AD$. 每日一题：2020-04-04
每日一题: 2020-04-04
题目:
如图所示, 已知$AD\bot BC$, $P$ 为$AD$ 上任一点, $BP$ 与$AC$ 交于点$E$, $CP$ 与
$AB$ 交于点$F$. 证明: $\angle FDA=\angle EDA$.
参考思路
如图以$D$ 为原点, $BC$ 所在直线为$x$ 轴, $AD$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系. 设$A(0,a),B(b,0),C(c,0),P(0,d)$, 所以易求得: 直线$BE:\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=1$; 直线$CF: \frac{x}{c}+\frac{y}{d}=1$; 直线$AC: \frac{x}{c}+\frac{y}{a}=1$;直线$AB: \frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$. 联立$BE,AC$解得$E$ 的坐标为: \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} \\frac{x}{b}+\\frac{y}{d}=1 \\\\ \\frac{x}{c}+\\frac{y}{a}=1 \\end{array}\\right.\Rightarrow E\\left( \\frac{bc(d-a)}{dc-ab},\\frac{ad(b-c)}{ab-dc} \\right) \\] 同理联立$CF,AB$ 解得$F$ \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} \\frac{x}{c}+\\frac{y}{d}=1 \\\\ \\frac{x}{b}+\\frac{y}{a}=1 \\end{array}\\right.\Rightarrow F\\left( \\frac{cb(d-a)}{db-ac},\\frac{ad(c-b)}{ac-db} \\right) \\] 设$OE: y=k_1x, OF=y=k_2x$ 分别代入$E,F$ 得 \\[ k_1=\\frac{-ad(b-c)}{bc(d-a)}, k_2=\\frac{-ad(c-b)}{bc(d-a)} \\] 因此有$k_1=-k_2$, 所以有$\angle EOA=\angle FOA$. 每日一题：2020-04-03
每日一题: 2020-04-03
题目:
如图所示, 已知$ABCD$ 是边长为$a$ 的正方形, $M$ 为$AB$ 中点, $CN=3NB$. 求$PD$的长.
参考思路
以$A$ 为原点, $AB$ 所在直线为$x$, $AD$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系. 所以$A(0,0), M(\frac{a}{2},0), B(a,0), N(a,\frac{a}{4}),C(a,a)$. 易求得$AN$ 所在的直线方向为$ y=\frac{1}{4}x$; $CM$ 所在的直线方程为$y=2x-a$. 联立上述两个方程 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} y=\frac{1}{4}x \\\\ y=2x-a \\end{array}\\right. \\] 解上述方程组得$P(\frac{4}{7}a,\frac{a}{7})$ 所以$PD=\frac{2\sqrt{13}a}{7}$每日一题：2020-04-02
每日一题: 2020-04-02
题目:
若函数$y=2|x-3|$ 与$y=x-a$ 的图象围出一个平面区域, 求实数$a$ 的取值范围及这个
区域的面积.