每日一题:2020-04-21
题目: 已知函数$y=\frac{5x+4}{2x+3}$
(1)请画图函数图象;
(2)根据图象求当$-3\leq x\leq 5 且(x\neq -\frac{3}{2})$时, $y$ 的取值范围.
每日一题：2020-04-20
每日一题: 2020-04-20
题目:
如图所示, 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 的图象上有两点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$,
且$x_2>x_1$. 分别过$P_1,P_2$ 向$x$ 轴作垂线, 垂足为$B,D$. 过$P_1,P_2$ 向$y$ 轴
作垂线, 垂足分别为$A,C$.
(1) 若记四边形$AP_1BO$ 和四边形$CP_2DO$ 的面积分别为$S_1,S_2$, 周长分别为
$C_1,C_2$. 试比较$S_1$ 和$S_2$, $C_1$ 和$C_2$ 的大小;
(2)若$P$ 是图象上任一点, 分别过$P$ 向$x$ 轴, $y$ 轴作垂线, 垂足分别为$M,N$.
试问当$P$ 在何处时四边形$PMON$ 的周长最小, 最小值为多少?
参考思路
(1) 由题设可得$S_1=x_1y_1, S_2=x_2y_2,C_1=2x_1+2y_1, C_2=2x_2+2y_2$. 因为$P_1,P_2$ 都在反比例函数图象上, 所以$x_1y_1=x_2y_2=k\Rightarrow S_1=S_2$; \\[ C_2-C_1=2(x_2+y_2)-2(x_1+y_1)=2(x_2-x_1)+2(y_2-y_1)=2(x_2-x_1)+(\frac{k}{x_2}-\frac{k}{x_1}) \\] 通过化简可得 \\[ C_2-C_1=2(x_2-x_1)\left( 1-\frac{k}{x_1x_2} \right) \\] 所以当$x_1x_2=k$ 时有$C_1=C_2$; 当$x_1x_2>k$ 时有$C_2>C_1$; 当$k>x_1x_2$ 时有 $C_1 > C_2$ (2)设$P(x,y)$, 易得四边形$PMON$ 的周长 \\[ C=2x+2y=2x+\frac{2k}{x}=2(x-2\sqrt{k}+\frac{k}{x})+4\sqrt{k}=2(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{x}})^2+4\sqrt{k}. \\] 所以当$\sqrt{x}=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{x}}$ 即$x=\sqrt{k}$ 时, $C$ 取得最小值$4\sqrt{k}$.每日一题：2020-04-19
每日一题: 2020-04-19
题目:
已知$A,C$ 在函数$y=\frac{k_1}{x}$ 的图象上, $B,D$ 在函数$y=\frac{k_2}{x}$ 的图
象上, 满足$k_1>k_2>0$, $AB\parallel CD\parallel x$ 轴, 直线$AB$ 在直线
$CD$ 的上方且它们的距离为$6$. 若$AB=\frac{3}{4}, CD=\frac{3}{2}$, 试求$k_1-k_2$ 的值.
参考思路
如图所示, 当$CD$ 在第一象限时, 因为$S_{ASON}=S_{CTOQ}=|k_1|=k_1, S_{BSOM}=S_{DTOP}=|k_2|=k2$. 所以$|k_1-k_2|=S_{ABMN}=S_{CDPQ}$. 设$OT=a, \therefore ST=6$, 可得 \\[ \frac{3}{4}(a+6)=\frac{3}{2}a\Rightarrow a=6 \\] 所以$k_1-k_2=\frac{3}{2}a=\frac{3}{2}\times 6=9$. (2) 当$CD$ 在第三象限时, 如图所示, 同上的方法可求得$k_1-k_2=3$. 综上可得$k_1-k_2=3$或$9$. 每日一题：2020-04-18
每日一题: 2020-04-18
题目:
设直线$nx+(n+1)y=\sqrt{2}$($n$ 为自然数) 与两坐标轴围成的三角形面积为
$Sn (n=1,2,\cdots,2020)$, 求$S_1+S_2+\cdots+S{2020}$ 的值.
参考思路
设直线与$x$ 轴, $y$ 轴的交点分别为$A,B$. 令$y=0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{n}\Rightarrow A\left( \frac{\sqrt{2}}{n},0 \right) $; 令$x=0\Rightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{n+1}\Rightarrow A\left(0, \frac{\sqrt{2}}{n+1} \right) $. 因此有 \\[ S_n=\frac{1}{2}|OA|\times |OB|=\frac{1}{n(n+1)} \\] 所以 \\[ S_1+S_2+\cdots+S_{2020}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{2020}{2021}. \\]每日一题：2020-04-17
每日一题: 2020-04-17
题目:
请用函数图象平移的方法研究并画出函数$y=\frac{3x+1}{x-1}$ 的草图, 并由图象说明
函数值$y$ 的范围.
参考思路
因为$y=\frac{3x+1}{x-1}=\frac{3(x-1)+4}{x-1}=3+\frac{4}{x-1}$. 由于$y=3+\frac{4}{x-1}$ 的图象是由函数$y=\frac{4}{x-1}$ 的图象向上平移三个单位得到; 函数$y=\frac{4}{x-1}$ 的图象是有函数$y=\frac{4}{x}$ 的图象向右平移一个单位得到. 因此函数$y=\frac{3x+1}{x-1}$ 的图象是由$y=\frac{4}{x}$ 的图象向右平移一个单位, 向上平移三个单位得到, 图象如图所示, 从图象可知$y$ 的取值范围是$y\neq 3$. 每日一题：2020-04-16
每日一题: 2020-04-16
题目:
如图, $AB\bot BC, AD\parallel BC$, $AB=3, AD=2$. 点$P$ 在线段$AB$ 上, 连接
$PD$, 过点$D$ 作$PD$ 的垂线, 与$BC$ 相交于点$C$. 设线段$AP$ 的长为$m$,
$\triangle PDC$ 的面积为$S$, 求$S$ 关于$m$ 的函数解析式.
参考思路
图中线段垂直关系较多, 可建立平面直角坐标系, 用$m$ 表示点$C$ 的坐标, 从而由 $S=S_{ABCD}-S_{\triangle PAD}-S_{\triangle PBC}$ 得$S$ 关于$m$ 的函数解析式. 如图所示建立平面直角坐标系, $A(0,3), B(0,0), D(2,3), P(0,3-m)$. 求得直线$PD$ 的解析式为 \\[ y=\frac{m}{2}x+3-m. \\] 由$CD\bot PD$ 可得直线$CD$ 解析式为 \\[ y=-\frac{2}{m}x+\frac{3m+4}{m}. \\] 所以$C\left( \frac{3m+4}{2},0 \right)$, 则 \\[ S=S_{ABCD}-S_{\triangle PAD}-S_{\triangle PBC}=\frac{3}{4}m^2+3. \\]  **本题也可以通过构造一线三等角模型通过相似来解答, 已经学了相似得同学可以尝试做做**每日一题：2020-04-15
每日一题: 2020-04-15
题目:
已知$A(-3,2), B(-2,-3), C(3,1)$, 试求$\triangle ABC$ 的重心坐标及外心坐标.
参考思路
如图所示, 设$D,E$ 分别为$BC,AC$ 的中点, 所以$D(\frac{1}{2},-1), E(0,\frac{3}{2})$. 易求得$AD: y=-\frac{6}{7}x-\frac{4}{7}; BE: y=\frac{9}{4}x+\frac{3}{2}$. 联立得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} y=-\frac{6}{7}x-\frac{4}{7} \\\\ y=\frac{9}{4}x+\frac{3}{2} \\end{array}\\right.\Rightarrow G(-\frac{2}{3},0) \\] 再易求得$BC: y=\frac{4}{5}x-\frac{7}{5}; AC: y=-\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$. 所以设$BC$ 的垂直平分线$OD: y=-\frac{5}{4}x+b_1$; $AC$ 的垂直平分线$OE:y=6x+b_2$. 代入$D(\frac{1}{2},-1), E(0,\frac{3}{2})$ 解得$b_1=-\frac{3}{8}, b_2=\frac{3}{2}$ \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} y=-\frac{5}{4}x-\frac{3}{8} \\\\ y=-\frac{1}{6}x+\frac{3}{2} \\end{array}\\right.\Rightarrow O(-\frac{15}{58},-\frac{3}{58}) \\] 每日一题：2020-04-14
每日一题:2020-04-14
题目:
已知以$A(0,2),B(2,0),O(0,0)$ 三点为顶点得三角形被直线$y=ax-a$ 分成两部分, 设靠
近原点$O$ 一侧那部分得面积为$S$, 试写出用 $a$ 表示得$S$ 的解析式.
参考思路
如图所示, 已知直线$AB$ 的方程为$y=-x+2$, 直线$y=ax-a$ 过定点$C(1,0)$. 下面分两种情况讨论. (1) 直线$y=ax-a$ 与线段$OA$ 相交, 设交点为$E$, 则靠近原点$O$ 一侧的图形是三角形. 所以$S=\frac{1}{2}\times OE\times OC=\frac{1}{2}\times (-a)\times 1=-\frac{a}{2}$. 此时$-2\leq a<0$ (2) 直线$y=ax-a$ 与线段$AB$ 相交, 设交点为$D$, 则靠近原点$O$ 一侧的图形是四边形. 由 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} y=ax-a \\\\ y=-x+2 \\end{array}\\right.\Rightarrow D\left( \frac{2+a}{1+a},\frac{a}{1+a} \right) \\] 而此时$a$ 的范围是$a<-2$ 或$a>0$.(因为除了$a=0$ 不考虑外, 直线不是与线段$OA$ 相 交就是和线段$AB$相交) $S=S_{\triangle OAB}-S_{\triangle DCB}=2-\frac{1}{2}\times 1\times\frac{a}{1+a}=\frac{4+3a}{2+2a}$. 所以有 \\[ S=\\left\\{\\begin{array}{lr} -\frac{a}{2} & (-2\leq a<0) \\\\ \frac{4+3a}{2+2a} & (a<-2 \mbox{或} a>0) \\end{array}\\right. \\] 每日一题：2020-04-13
每日一题: 2020-04-13
题目:
已知$x,y,z$ 都不小于$0$, 且满足$3y+2z=3-x$ 及$3y+z=4-3x$,
求函数$u=3x-2y+4z$ 的最大值和最小值.
参考思路
由题意得$x\geq 0,y\geq 0,z\geq 0$. \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} 3y+2z=3-x \\\\ 3y+z=4-3x \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} y=\frac{5}{3}(1-x) \\\\ z=2x-1 \\end{array}\\right. \\] 根据$y\geq 0,z\geq 0\Rightarrow \frac{1}{2}\leq x\leq 1$. 又因为$u=3x-2y+4z=3x-2[\frac{5}{3}(1-x)]+4(2x-1)=\frac{1}{3}(43x-22)$. 所以, 当$x=\frac{1}{2}$ 时, $u$ 取最小值$-\frac{1}{6}$; 当$x=1$ 时, $u$ 取最大值7.每日一题：2020-04-12
每日一题: 2020-04-12
题目:
设$-1\leq x\leq 2$, 求$|x-2|-\frac{1}{2}|x|+|x+2|$ 的最大值与最小值之差.