每日一题: 2020-05-01

题目:
如图, 直线$y=kx+k(k\neq 0)$ 与双曲线$y=\frac{n+1}{x}$ 交于$C,D$ 两点, 与$x$ 轴
交于点$A$.

(1) 求$n$ 的取值范围和点$A$ 的坐标;

(2) 过点$C$ 作$CB\bot y$ 轴, 垂足为$B$, 若$S_{\triangle ABC}=4$, 求双曲线的解析式.

(3) 在(1),(2)的条件下, 若$AB=\sqrt{17}$, 求点$C$ 和点$D$ 的坐标, 并根据图象直
接写出反比例函数的值小于一次函数的值时, 自变量$x$ 的取值范围.

参考思路

(1) 由$n+1<0\Rightarrow n\lt -1$. 由$y=kx+k(k\neq 0)\Rightarrow A(-1,0)$. (2) 设$C(a,b)\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}a\cdot (-b)=4\Rightarrow ab=8\Rightarrow y=-\frac{8}{x}$. (3) $B(0,b), AB=\sqrt{17}, OA=1\Rightarrow OB=4\Rightarrow B(0,-4), C(2,-4)\Rightarrow k=-\frac{4}{3}$. 联立直线与双曲线 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3} \\\\ y=-\frac{8}{x} \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} x=-3 \\\\ y=\frac{8}{3} \\end{array}\\right. \text{或} \\left\\{\\begin{array}{lr} x=2 \\\\ y=4 \\end{array}\\right. \\] 所以由图象可知, 当$x\lt -3$ 或$0\lt x\lt 2$ 时, 反比例函数的值小于一次函数值.

每日一题: 2020-04-30

题目:
在平面直角坐标系$xOy$ 中, 点$A,B$ 分别在函数$y_1=\frac{4}{x}(x>0)$ 与$y_2=-\frac{4}{x}(x<0)$
的图象上, $A, B$ 的横坐标分别为$a,b$.

(1) 若$AB\parallel x$ 轴, 求$\triangle OAB$ 的面积;

(2)若$\triangle OAB$ 是以$AB$ 为底边的等腰三角形, 且$a+b\neq 0$, 求$ab$ 的值;

(3) 作边长为$3$ 的正方形$ACDE$, 使$AC\parallel x$ 轴, 点$D$ 在点$A$ 的左上方,
那么, 对大于或等于$4$ 的任意实数$a$, $CD$ 边与函数$y_1=\frac{4}{x}(x>0)$ 的图
象都有交点, 请说明理由.

参考思路

(1) 如图, $AB$ 交$y$ 轴于$C$, 因为$AB\parallel x$ 轴, 所以 \\[ S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}\times |4|=2, S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}\times |-4|=2 \\] 所以$S_{\triangle OAB}=S_{OAC}+S_{OBC}=2+2=4$.  (2) 因为$A,B$ 的横坐标分别为$a,b$, 所以$A,B$ 的终坐标分别为$\frac{4}{a}, -\frac{4}{b}$,所以 \\[ OA^2=a^2+\left( \frac{4}{a} \right)^2, OB^2=b^2+\left( -\frac{4}{b} \right)^2 \\] 由$OA=OB\Rightarrow (a+b)(a-b)\left( 1-\frac{16}{a^2b^2} \right)=0$. 因为$a+b\neq 0 a\gt 0, b\lt 0$, 得$ab=-4$. (3)因为$a\geq 4$, 而$AC=3$, 所以$CD$ 在$y$ 轴的右侧, 直线$CD$ 与函数$y_1=\frac{4}{x}(x>0)$ 的图象一定有交点, 设直线$CD$ 与函数$y1=\frac{4}{x}(x>0)$ 的图象的交点为$F$. 如图所示得 $$ A\left( a,\frac{4}{a} \right), C\left( a-3,\frac{4}{a} \right)\Rightarrow F\left( a-3, \frac{4}{a-3} \right)\Rightarrow FC=\frac{4}{a-3}-\frac{4}{a} $$ 因为 \\[ 3-FC=3-\left( \frac{4}{a-3}-\frac{4}{a} \right) =\frac{3(a+1)(a-4)}{a(a-3)}\geq 0\Rightarrow FC\leq 3 \\] 因为$CD=3$, 所以点$F$ 在线段$DC$ 上, 即对大于或等于$4$ 的任意实数$a$, $CD$ 边 与函数$y_1=\frac{4}{x}(x>0)$ 的图象都有交点 

每日一题: 2020-04-29

题目:
某班参加一个智力竞赛, 共$a,b,c$ 三道题, 每题或者得满分或者得$0$ 分, 其中题$a$
满分为$20$ 分, $b,c$ 题满分分别为$25$ 分. 竞赛结果: 每个学生至少答对了一题, 三
题全答对的有$1$ 人, 答对其中两道题的有$15$ 人, 答对题$a$ 的人数与答对题$b$ 的
人数之和为$29$; 答对题$a$ 的人数与答对题$c$ 的人数之和为$25$; 答对题$b$ 的人数
与答对题$c$ 的人数之和为$20$, 问这个班的平均成绩是多少?

参考思路

如图所示设未知数, $A,B,C$ 分别表示做出题目$a,b,c$的人数, 由已知可得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} d+e+f=15 \\\\ (a+d+e+1)+(b+d+f+1)=29 \\\\ (a+d+e+1)+(c+e+f+1)=25 \\\\ (b+d+f+1)+(c+e+f+1)=20 \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} a+b+c=4 \\\\ a+d+e+1=17 \\\\ b+d+f+1=12 \\\\ c+e+f+1=8 \\end{array}\\right. \\] 所以平均成绩为 \\[ \frac{20(a+d+e+1)+25(b+d+f+1)+25(c+e+f+1)}{20}=42 \\] 

每日一题: 2020-04-28

题目:
编号为$1$ 至$25$ 的$25$ 个弹珠被分放在两个篮子$A$ 和$B$ 中. $15$ 号弹珠在篮子
$A$ 中, 把这个弹珠从篮子$A$ 移至篮子$B$ 中, 这时篮子$A$ 中的弹珠号码的平均数等
于原来平均数加$\frac{1}{4}$, $B$ 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加$\frac{1}{4}$.
问原来在篮子$A$ 中有多少个弹珠?

参考思路

设原来篮子$A$ 中有弹珠$x$ 个, 则篮子$B$ 中有弹珠$(25-x)$ 个. 又记原来$A$ 中弹 珠号码数的平均数为$a$, $B$ 中弹珠号码数的平均数为$b$, 则由题意得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} ax+(25-x)b=1+2+\cdots +25=325 \\\\ \frac{ax-15}{x-1}-a=\frac{1}{4} \\\\ \frac{b(25-x)+15}{26-x}-b=\frac{1}{4} \\end{array}\\right. \\] 由后两个式子可得: $a=\frac{x+59}{4}, b=\frac{34+x}{4}$ 代入第一个式子可得 \\[ \frac{1}{4}(x+59)-\frac{1}{4}(x+34)+\frac{25}{4}(x+31)=325\Rightarrow x=9 \\] 因此原来篮子$A$ 中有$9$ 个弹珠.

每日一题: 2020-04-27

题目:
请证明函数$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的图象是中心对称图形, 并求其对称中心.

参考思路

已知 $$ y=\frac{4x+3}{2x-4}=2+\frac{11/2}{x-2} $$所以$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的图象是有$y=\frac{11/2}{x}$ 的图象向右平移$2$ 个 单位,向上平移$2$ 个单位得到, 因为$y=\frac{11/2}{x}$ 的图象关于原点成中心对称, 所以$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的图象应该关于$(2,2)$ 成中心对称, 下面严格证明$(2,2)$ 就是其对称中心. 设$(x_0,y_0)$ 是函数$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 图象上的任意一点, $(x_0,y_0)$ 关于 $(2,2)$ 的对称点是$(4-x_0,4-y_0)$, 下证$(4-x_0,4-y_0)$ 也在$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的函数图象上. 当$x=4-x_0$ 时, 代入函数有 $y=\frac{4(4-x_0)+3}{2(4-x_0)-4}=\frac{-4x_0+19}{-2x_0+4}=\frac{4x_0-19}{2x_0-4}$. 另一方面$4-y_0=4-\frac{4x_0+3}{2x_0-4}=\frac{4x_0-19}{2x_0-4}$, 所以$y=4-y_0$, 即$(4-x_0,4-y_0)$ 也在函数$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的图象上, 所以函数$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的图象关于$(2,2)$ 成中心对称.

每日一题: 2020-04-26

题目:
求直线$y=4x+2$ 关于直线$y=2x-1$ 对称的直线方程.

参考思路

联立 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} y=4x+2 \\\\ y=2x-1 \\end{array}\\right.\Rightarrow A(-\frac{3}{2},-4) \\] 点$B$ 为$y=4x+2$ 与$y$ 轴得交点, $\therefore B(0,-2)$, 作$B$ 关于直线$y=2x-1$ 的对称点$C$, 设$C(a,b)$, 由对称性知$BC$ 的中点$M$ 在直线$y=2x-1$ 上,且$BC\bot AM$. 设$BC$ 所在的直线方程为$y=k_1x+2\Rightarrow k_1=\frac{b-2}{a}=-\frac{1}{2}\Rightarrow a+2b=4$; 由$M(\frac{a}{2},\frac{b+2}{2})$ 在直线$y=2x-1$ 上得$\frac{b+2}{2}=a-1\Rightarrow 2a-b=4$. \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} a+2b=4 \\\\ 2a-b=4 \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} a=\frac{12}{5} \\\\ b=\frac{4}{5} \\end{array}\\right.\Rightarrow C\left( \frac{12}{5},\frac{4}{5} \right) \\] 所以$AC$ 所在得直线为所求, 设$AC$ 的直线方程为$y=kx+b$, 代入点$A(-\frac{3}{2},-4), C(\frac{12}{5},\frac{4}{5})$. 解得直线$AC$ 的方程为: $$ y=\frac{16}{13}x-\frac{28}{13} $$ 

每日一题: 2020-04-25

题目:
如果函数$y=f(x)$, 对于某范围内的任意两个数$x_1,x_2$, 和任意$0\lt \lambda \lt 1$, 都有

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda) f(x_2)$$

我们就称函数$y=f(x)$ 在这个范围内是凸函数.

请证明: $f(x)=\frac{1}{x} (x>0)$ 是凸函数.

参考思路

由已知$x_1>0,x_2>0$. $f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)=\frac{1}{\lambda x_1+(1-\lambda )x_2}$; $\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)=\frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2}$. 所以得 $$ (\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\cdot \left( \frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2} \right) =\lambda^2+\lambda (1-\lambda )\left( \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} \right) +(1-\lambda )^2 $$ 因为 $$ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}-2=\left( \sqrt{\frac{x_1}{x_2}}-\sqrt{\frac{x_2}{x_1}} \right) ^2\Rightarrow \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\geq 2 $$ 所以有 $$ (\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\cdot \left( \frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2} \right) \geq \lambda^2+2\lambda (1-\lambda ) +(1-\lambda )^2 =(\lambda +1-\lambda )^2=1 $$ 因此可得 $$ \frac{1}{\lambda x_1+(1-\lambda )x_2}\geq \frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2} $$ 即$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$. 所以 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 为凸函数.

每日一题: 2020-04-24

题目:
如图所示, 已知$A$ 为第一象限内, 直线$y=3x$ 上的一个动点, 过$AM$ 的直线与$x$ 轴
正半轴交于$B$ 点, 若$M(8,3)$. 求$\triangle OAB$ 面积的最小值.

参考思路

设$A(a,3a) (a>0)$ 所以可以用$a$ 表示直线$AB$ 的方程, 设直线方程为$y=kx+b$, 代 入点$A(a,3a), M(8,3)$, 得直线方程的解析式为: \\[ y=\frac{3-3a}{8-a}x+\frac{21a}{8-a} \\] 令$y=0\Rightarrow B\left( \frac{7a}{a-1},0 \right) $. 这里显然有$a>1$. 所以$\triangle OAB$ 的面积$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{7a}{a-1}\cdot 3a=\frac{21}{2}\cdot \frac{a^2}{a-1}$. 下求$\frac{a^2}{a-1}$ 的最小值 \\[ \frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-1+1}{a-1}=a+1+\frac{1}{a-1}=a-1+\frac{1}{a-1}-2+4=\left( \sqrt{a-1}-\frac{1}{\sqrt{a-1}} \right)^2+4 \\] 所以$\frac{a^2}{a-1}\geq 4$ 当$\sqrt{a-1}=1$ 即$a=2$ 时取到等号. 因此$S_{min}=\frac{21}{2}\cdot 4=42$.

每日一题: 2020-04-23

设$f(x)=mx+\frac{1}{m}(1-x)$, 其中$m>0$, 记$f(x)$ 在$0\leq x\leq 1$ 的最小值为$g(m)$.
求$g(m)$ 及其最大值, 并画出$y=g(m)$ 的图象.

参考思路

因为$f(x)=\left( m-\frac{1}{m} \right)x+\frac{1}{m}$, 所以 (1)当$0\lt m\lt 1$ 时, $(m-\frac{1}{m})\lt 0$, 所以$f(x)$ 随着$x$ 的增大而减小, 因此有$g(m)=f(1)=m$. (2) 当$m>1$ 时, $(m-\frac{1}{m})>0$, 所以$f(x)$ 随着$x$ 的增大而增大, 因此有$g(m)=f(0)=\frac{1}{m}$. (3) 当$m=1$ 时, $f(1)=1\Rightarrow g(m)=1$. 综上可得 \\[ g(m)=\\left\\{\\begin{array}{lr} m & (0\lt m \leq 1) \\\\ \frac{1}{m} & (m>1) \\end{array}\\right. \\] 画出图象如图所示, 可知当$m=1$ 时$g(m)$ 取得最小值为$1$. 

每日一题: 2020-04-22

题目:
结合函数图象解下列不等式 $\frac{5}{x}<2x+3$.

参考思路

画出函数$y=\frac{5}{x}, y=2x+3$的图象如图所示, 由$\frac{5}{x}=2x+3\Rightarrow x_1=1,x_2=-\frac{5}{2}$. 由图象可知原不等式的解集为 $-\frac{5}{2}\lt x\lt 0$ 或 $x\gt 1$