每日一题：2020-05-05

每日一题: 2020-05-05

题目:
如图, 等边$\triangle OAB$ 和等边$\triangle AFE$ 的一边都在$x$ 轴上, 双曲线$y=\frac{k}{x}(k>0)$
经过边$OB$ 的中点$C$ 和$AE$ 的中点$D$, 已知等边$\triangle OAB$ 的边长为$4$.
(1) 求该双曲线所表示的函数解析式;
(2) 求等边$\triangle AEF$ 的边长.

参考思路

(1)因为$OD=4\Rightarrow C(1,\sqrt{3})\Rightarrow k=\sqrt{3}$, 所以$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$.

(2) 设$AE=4a\Rightarrow D(4+a,\sqrt{3}a)\Rightarrow (4+a)\cdot \sqrt{3}a=\sqrt{3}\Rightarrow a(4+a)=1$.
解得$a=-2\pm \sqrt{5}$, 因为$a\gt 0\Rightarrow a=\sqrt{5}-2\Rightarrow AE=4\sqrt{5}-8$.