每日一题：2020-03-29

每日一题:2020-03-29

题目:
设$P$ 为等边三角形$ABC$ 外的一点, 且$PA=3,PB=4,PC=5$, 求$\triangle ABC$ 的边长.

参考思路

如图所示, 将$\triangle PAB$ 逆时针旋转$60^{\circ}$ 到$\triangle EAC$, 连结$PE$.

显然$\triangle PAE$ 为等边三角形; $EC=PB=5$, 在$\triangle PCE$ 中有$PE=3,PC=4,EC=5$.

$\therefore \angle CPE=90^{\circ}\Rightarrow \angle CPA=30^{\circ}$.

过$A$ 作$AH\bot PC$ 于$H$, $\therefore AH=\frac{PA}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow PH=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

因此得$HC=4-\frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC^2=AH^2+HC^2\Rightarrow AC=\sqrt{25-12\sqrt{3}}$.