每日一题：2020-04-04

每日一题: 2020-04-04

题目:
如图所示, 已知$AD\bot BC$, $P$ 为$AD$ 上任一点, $BP$ 与$AC$ 交于点$E$, $CP$ 与
$AB$ 交于点$F$. 证明: $\angle FDA=\angle EDA$.

参考思路

如图以$D$ 为原点, $BC$ 所在直线为$x$ 轴, $AD$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系.
设$A(0,a),B(b,0),C(c,0),P(0,d)$, 所以易求得: 直线$BE:\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=1$;
直线$CF: \frac{x}{c}+\frac{y}{d}=1$; 直线$AC: \frac{x}{c}+\frac{y}{a}=1$;直线$AB: \frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$.
联立$BE,AC$解得$E$ 的坐标为:
\[
\left\{\begin{array}{lr} \frac{x}{b}+\frac{y}{d}=1 \\ \frac{x}{c}+\frac{y}{a}=1 \end{array}\right.\Rightarrow E\left( \frac{bc(d-a)}{dc-ab},\frac{ad(b-c)}{ab-dc} \right)
\]

同理联立$CF,AB$ 解得$F$
\[
\left\{\begin{array}{lr} \frac{x}{c}+\frac{y}{d}=1 \\ \frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1 \end{array}\right.\Rightarrow F\left( \frac{cb(d-a)}{db-ac},\frac{ad(c-b)}{ac-db} \right)
\]
设$OE: y=k_1x, OF=y=k_2x$ 分别代入$E,F$ 得
\[
k_1=\frac{-ad(b-c)}{bc(d-a)}, k_2=\frac{-ad(c-b)}{bc(d-a)}
\]
因此有$k_1=-k_2$, 所以有$\angle EOA=\angle FOA$.