每日一题：2020-06-06

每日一题: 2020-06-06

题目: 已知三个关于$x$ 的一元二次方程$ax^2+bx+c=0, bx^2+cx+a=0, cx^2+ax+b=0$ 恰有一
个公共实数根, 求$\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}$ 的值.

参考思路

解设$\alpha$ 为这三个方程的公共根, 则有
\[
\left\{\begin{array}{lr} a\alpha^2+b\alpha+c=0 \\ b\alpha^2+c\alpha+a=0 \\ c\alpha^2+a\alpha+b=0 \end{array}\right.
\]
三式相加得$(a+b+c)(\alpha^2+\alpha+1)=0$, 因为$\alpha^2+\alpha+1=(\alpha+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\neq 0\Rightarrow a+b+c=0$.

原式=$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{a^3+b^3-(a+b)^3}{-ab(a+b)}=3$