每日一题：2020-07-07

每日一题: 2020-07-07

题目: 已知抛物线$y=x^2+px+q$ 有一点$M(x_0,y_0)$, 位于$x$ 轴的下方.
(1) 求证: 已知抛物线与$x$ 轴必有两个交点$A(x_1,0),B(x_2,0)$, 其中$x_1\lt x_2$;
(2) 求证: $x_1\lt x_0\lt x_2$;
(3) 当点$M$ 为$(1,-2)$ 时, 求整数$x_1,x_2$.

参考思路

(1)由已知得: $y_0=x_0^2+px_0+q=(x_0+\frac{p}{2})^2-\frac{p^2-4q}{4}\lt 0\Rightarrow \frac{p^2-4q}{4}\gt (x_0+\frac{p}{2})^2\geq 0$.
所以$\Delta=p^2-4q\gt 0$, 故方程$x^2+px+q=0$ 有两个不等实根, 即抛物线与$x$ 轴交于两点.

(2) 由(1)可设两个交点为$A(x_1,0),B(x_2,0)$, 则又$x_1+x_2=-p, x_1x_2=q$
代入$x_0^2+px_0+q=y_0\lt 0$ 得
$x_0^2-(x_1+x_2)x_0+x_1x_2\lt 0\Rightarrow (x_0-x_1)(x_0-x_2)\lt 0\Rightarrow x_1\lt x_0\lt x_2$.

(3) 代入$M$ 得$-2=1+p+q\Rightarrow p+q=-3\Rightarrow x_1x_2-(x_2+x_2)+1=-2$
即有$(x_1-1)(x_2-1)=-2$.
因为$x_1\lt x_2$且都为整数,因此有:
\[
\left\{\begin{array}{lr} x_1-1=-2 \\ x_2-1=1 \end{array}\right. 或 \left\{\begin{array}{lr} x_1-1=-1 \\ x_2-1=2 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} x_1=0 \\ x_2=3 \end{array}\right.或\left\{\begin{array}{lr} x_1=-1 \\ x_2=2 \end{array}\right.
\]