初二暑假

每日一题：2020-08-01

在直角坐标系中有三点A(0,1),B(1,3),C(2,6)A(0,1),B(1,3),C(2,6), 已知直线y=ax+by=ax+b 上横坐标为0,1,20,1,2 的
点分别为D,E,FD,E,F, 试求a,ba,b 的值使得AD2+BE2+CF2AD^2+BE^2+CF^2 达到最小值.

参考思路

因为D,E,FD,E,F 的坐标分别为D(0,b),E(1,a+b),F(2,2a+b)D(0,b),E(1,a+b),F(2,2a+b), 所以
AD2+BE2+CF2=(b−1)2+(a+b−3)2+(2a+b−6)2=5a2+6ab+3b2−30a−20b+46=5a2+(6b−30)a+3b2−20b+46=5(a+35b−3)2−5(35b−3)2+3b2−20b+46=5(a+35b−3)2+65b2−2b+1=5(a+35b−3)2+65(b−56)2+16 AD^2+BE^2+CF^2 =(b-1)^2+(a+b-3)^2+(2a+b-6)^2 \\ =5a^2+6ab+3b^2-30a-20b+46 =5a^2+(6b-30)a+3b^2-20b+46 \\ =5(a+\frac{3}{5}b-3)^2-5(\frac{3}{5}b-3)^2+3b^2-20b+46 \\ =5(a+\frac{3}{5}b-3)^2+\frac{6}{5}b^2-2b+1=5(a+\frac{3}{5}b-3)^2+\frac{6}{5}(b-\frac{5}{6})^2+\frac{1}{6}
所以当a+35b−3=0a+\frac{3}{5}b-3=0 且b−56=0b-\frac{5}{6}=0 时, 上式取得最小值,
此时a=52,b=56a=\frac{5}{2}, b=\frac{5}{6}, 最小值为16\frac{1}{6}.