每日一题: 2020-08-09
题目: 在等腰直角$\triangle ABC$ 中, $AB=AC, \angle A=90^{\circ}$, $D,E$ 分别是
$AB,AC$ 上的点, $AD=\frac{2}{3}AB, AE=\frac{1}{3}AC$, 求证: $\angle ADE=\angle EBC$.
参考思路
思路一: 如图所示做辅助线, 使得$\triangle ADE\cong \triangle MBG\cong NGE$, 所以有$GB=GE, \angle BGE=90^{\circ}$.
所以$\angle GBE=45^{\circ}$, 即$\angle ADE=45^{\circ}-\angle ABE=\angle EBC$.
思路二: 设$M$ 为$BC$ 中点, 连结$AM$ 交$BE$ 于点$N$, 做$MF\parallel BE$ 交$AC$ 于$F$.
所以得$EF=FC=AE$. 因为$NE\parallel MF\Rightarrow AN=NM$, 因此有$BM=2NM$.
易得$\triangle EAD\backsim \triangle NMB\Rightarrow \angle ADE=\angle EBC$.
