每日一题：2020-08-10

每日一题: 2020-08-10

题目: 设$f(x)=ax^2+bx+c (a\gt 0)$, 方程$f(x)=x$ 的两个根是$x_1,x_2$, 且$x_1\gt 0,x_2-x_1\gt \frac{1}{a}$.
又若$0\lt t\lt x_1$, 试比较$f(t)$与 $x_1$ 的大小.

参考思路

因为$x_1,x_2$ 是方程$ax^2+bx+c=x$ 的两个根, 所以$x_1+x_2=-\frac{b-1}{a}, x_1x_2=\frac{c}{a}$,
$ax_1^2+bx_1+c=x_1$. 因此
$f(t)-x_1=(at^2+bt+c)-(ax_1^2+bx_1+c)=a(t+x_1)(t-x_1)+b(t-x_1)\\ a(t-x_1)(t+x_1+\frac{b}{a})$
由$t+x_1+\frac{b}{a}=t+(\frac{1}{a}-x_2)=(t+\frac{1}{a})-x_2\lt (x_1+\frac{1}{a})-x_2\lt 0$
及$a\gt 0, t-x_1\lt 0$ 得$f(t)-x_1\gt 0$.
所以, 当$0\lt t\lt x_1$ 时, 有$f(t)>x_1$.