每日一题 2026-03-15

每日一题 2026-03-15

如图，已知点 $M$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，满足 $\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，求 $\triangle ABM$ 与 $\triangle BCM$ 的面积之比。

参考解答

答案： $3$

解析

法一（辅助线法）：

如图，过点 $M$ 作 $EF \parallel AC$，延长 $BM$ 交 $AC$ 于点 $D$。

则 $\dfrac{S_{\triangle ABM}}{S_{\triangle BCM}} = \dfrac{EM}{FM}$。

因为 $\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM}$

所以 $\overrightarrow{AE} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，则 $\overrightarrow{EB} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

所以 $\overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{EM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

从而 $\dfrac{EM}{EF} = \dfrac{3}{4}$，$\dfrac{EM}{MF} = 3$

所以 $\dfrac{S_{\triangle ABM}}{S_{\triangle BCM}} = \dfrac{EM}{FM} = 3$

法二（奔驰定理）：

由 $\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ 得：

$12\overrightarrow{AM} = 8(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}) + 3(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC})$

所以 $\overrightarrow{MA} + 8\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = \vec{0}$

由奔驰定理，$S_{\triangle BCM} : S_{\triangle ACM} : S_{\triangle ABM} = 1 : 8 : 3$

即 $\dfrac{S_{\triangle ABM}}{S_{\triangle BCM}} = 3$