每日一题

每日一题 2026-04-05

在 △ABC\triangle ABC 中，BC=8BC = 8，2sin⁡A+3cos⁡Bcos⁡C=42\sin A + 3\cos B \cos C = 4，则 △ABC\triangle ABC 的面积为________。

参考解答

析：条件涉及 sin⁡A\sin A 与 cos⁡Bcos⁡C\cos B\cos C，想到积化和差将 cos⁡Bcos⁡C\cos B\cos C 展开，再结合 B+C=π−AB+C=\pi-A 的关系化简。随后用辅助角公式合并，结合正余弦的有界性确定取等条件，最后用余弦定理求边并计算面积。

解：

第一步：公式变形与角度化简

利用积化和差公式 cos⁡Bcos⁡C=12[cos⁡(B+C)+cos⁡(B−C)]\cos B \cos C = \frac{1}{2}[\cos(B+C) + \cos(B-C)]，原式变为

2sin⁡A+32cos⁡(B+C)+32cos⁡(B−C)=42\sin A + \frac{3}{2} \cos(B+C) + \frac{3}{2} \cos(B-C) = 4

在 △ABC\triangle ABC 中 B+C=π−AB+C = \pi - A，故 cos⁡(B+C)=−cos⁡A\cos(B+C) = -\cos A，代入得

2sin⁡A−32cos⁡A+32cos⁡(B−C)=42\sin A - \frac{3}{2} \cos A + \frac{3}{2} \cos(B-C) = 4

使用辅助角公式，提取系数 52\frac{5}{2}：

52(45sin⁡A−35cos⁡A)+32cos⁡(B−C)=4\frac{5}{2}\left(\frac{4}{5}\sin A - \frac{3}{5}\cos A\right) + \frac{3}{2}\cos(B-C) = 4

即 52sin⁡(A−φ)+32cos⁡(B−C)=4\displaystyle \frac{5}{2}\sin(A-\varphi) + \frac{3}{2}\cos(B-C) = 4（其中 cos⁡φ=45\cos\varphi=\frac{4}{5}，sin⁡φ=35\sin\varphi=\frac{3}{5}）。

第二步：确定三角形特征

由于 sin⁡(A−φ)≤1\sin(A-\varphi)\le 1 且 cos⁡(B−C)≤1\cos(B-C)\le 1，等式 52sin⁡(A−φ)+32cos⁡(B−C)=4\displaystyle \frac{5}{2}\sin(A-\varphi) + \frac{3}{2}\cos(B-C) = 4 成立必须满足

{sin⁡(A−φ)=1cos⁡(B−C)=1\begin{cases} \sin(A-\varphi)=1 \\ \cos(B-C)=1 \end{cases}

于是 B−C=0⇒B=CB-C=0\Rightarrow B=C（等腰三角形），且 A−φ=π2⇒A=π2+φA-\varphi=\frac{\pi}{2}\Rightarrow A=\frac{\pi}{2}+\varphi。

进而

sin⁡A=cos⁡φ=45,cos⁡A=−sin⁡φ=−35\sin A = \cos\varphi = \frac{4}{5},\qquad \cos A = -\sin\varphi = -\frac{3}{5}

第三步：计算边长与面积

设 AB=AC=xAB=AC=x，BC=8BC=8。由余弦定理

cos⁡A=x2+x2−822x2=2x2−642x2\cos A = \frac{x^2+x^2-8^2}{2x^2} = \frac{2x^2-64}{2x^2}

代入 cos⁡A=−35\cos A=-\frac{3}{5} 得

−35=2x2−642x2⟹x2=20-\frac{3}{5} = \frac{2x^2-64}{2x^2}\Longrightarrow x^2=20

故 S△ABC=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡A=12⋅x2⋅sin⁡A=12⋅20⋅45=8S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A = \frac{1}{2}\cdot x^2\cdot\sin A = \frac{1}{2}\cdot 20\cdot\frac{4}{5}=8。

【点评】本题的关键在于两步转化：其一，积化和差 +B+C=π−A+B+C=\pi-A 将条件化为同角；其二，利用有界性反推角度关系（sin⁡(⋅)=1\sin(\cdot)=1，cos⁡(⋅)=1\cos(\cdot)=1）确定三角形的几何特征。辅助角公式是连接这两步的桥梁。

答案：8\displaystyle 8