每日一题

每日一题 2026-04-04

已知 1+cos⁡Asin⁡A=1+cos⁡Bsin⁡B+1,a=1\dfrac{1 + \cos A}{\sin A} = \dfrac{1 + \cos B}{\sin B} + 1,\quad a = 1，求 △ABC\triangle ABC 周长的最大值。

参考解答

析 由条件化简得 sin⁡B+sin⁡Bcos⁡A=sin⁡A+sin⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\sin B + \sin B\cos A = \sin A + \sin A\cos B + \sin A\sin B，利用正弦定理将边转化为三角函数。

解 由条件得：

sin⁡B+sin⁡Bcos⁡A=sin⁡A+sin⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\sin B + \sin B\cos A = \sin A + \sin A\cos B + \sin A\sin B

两边同时加上 sin⁡Acos⁡B\sin A\cos B，利用正弦定理 b=2Rsin⁡B,  c=2Rsin⁡Cb=2R\sin B,\; c=2R\sin C，注意到 a=1a=1，则 R=a2sin⁡A=12sin⁡AR=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{1}{2\sin A}。
经化简可得：

b+c=1+2cos⁡B+sin⁡Bb + c = 1 + 2\cos B + \sin B

故周长：

C=a+b+c=1+(1+2cos⁡B+sin⁡B)=2+2cos⁡B+sin⁡B≤2+5C = a + b + c = 1 + (1 + 2\cos B + \sin B) = 2 + 2\cos B + \sin B \le 2 + \sqrt{5}

等号在 sin⁡B=25,  cos⁡B=15\sin B = \dfrac{2}{\sqrt{5}},\; \cos B = \dfrac{1}{\sqrt{5}} 时取到。

【点评】 本题关键在于利用正弦定理将边长表示为三角函数，再利用辅助角公式求最值。注意周长要加上边 aa。