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每日一题：2026-06-23

题目

统计是研究数据的学问．一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度．已知 1010 个数 x1,x2,⋯ ,x10x_1,x_2,\cdots,x_{10} 的平均数为 55，根据下列选项的结果，能判断这组数据的中位数不超过 77 的是（　　）

A．标准差为 00　　　　B．众数为 33　　　　C．极差为 55　　　　D．方差为 55

参考解答

解析：

对于 A：
若标准差为 00，则 1010 个数 x1,x2,⋯ ,x10x_1,x_2,\cdots,x_{10} 的平均数为 55，这 1010 个数都是 55，此时这组数据的中位数为 5+52=5\dfrac{5+5}{2}=5，不超过 77，故 A 正确．

对于 B：
设这 1010 个数依次为

−11,  3,  3,  3,  8,  8,  8.5,  8.5,  9.5,  9.5,-11,\;3,\;3,\;3,\;8,\;8,\;8.5,\;8.5,\;9.5,\;9.5,

则它们的平均数为

−11+3×3+2×(8+8.5+9.5)10=−11+9+2×2610=5010=5,\frac{-11+3\times3+2\times(8+8.5+9.5)}{10} =\frac{-11+9+2\times26}{10} =\frac{50}{10}=5,

满足题意．此时这组数据的中位数为 8+82=8\dfrac{8+8}{2}=8，超过 77，故 B 错误．

对于 C：
若极差为 55，则可设这 1010 个数的最小值为 aa，最大值为 a+5a+5，这 1010 个数为

a,  a+k1,  a+k2,  ⋯ ,  a+k8,  a+5,a,\;a+k_1,\;a+k_2,\;\cdots,\;a+k_8,\;a+5,

其中 0⩽k1⩽k2⩽⋯⩽k8⩽50\leqslant k_1\leqslant k_2\leqslant\cdots\leqslant k_8\leqslant5．
已知平均数为 55，则

10a+(k1+k2+⋯+k8)+5=50,10a+(k_1+k_2+\cdots+k_8)+5=50,

即 10a+(k1+k2+⋯+k8)=4510a+(k_1+k_2+\cdots+k_8)=45．
因为 k1,k2,k3⩾0k_1,k_2,k_3\geqslant0，k4⩽k5⩽⋯⩽k8k_4\leqslant k_5\leqslant\cdots\leqslant k_8，所以

k1+k2+⋯+k8⩾k4+k5+k6+k7+k8⩾k4+4k5⩾52(k4+k5),k_1+k_2+\cdots+k_8\geqslant k_4+k_5+k_6+k_7+k_8 \geqslant k_4+4k_5 \geqslant\frac{5}{2}(k_4+k_5),

于是

45=10a+(k1+k2+⋯+k8)⩾10a+52(k4+k5),45=10a+(k_1+k_2+\cdots+k_8) \geqslant10a+\frac{5}{2}(k_4+k_5),

即 10a+52(k4+k5)⩽4510a+\dfrac{5}{2}(k_4+k_5)\leqslant45，亦即 a+k4+k54⩽92a+\dfrac{k_4+k_5}{4}\leqslant\dfrac{9}{2}．
此时这组数据的中位数为 (a+k4)+(a+k5)2=a+k4+k52\dfrac{(a+k_4)+(a+k_5)}{2}=a+\dfrac{k_4+k_5}{2}，
故

a+k4+k52=(a+k4+k54)+k4+k54⩽92+k4+k54.a+\frac{k_4+k_5}{2} =\left(a+\frac{k_4+k_5}{4}\right)+\frac{k_4+k_5}{4} \leqslant\frac{9}{2}+\frac{k_4+k_5}{4}.

由 0⩽k4+k5⩽100\leqslant k_4+k_5\leqslant10 得 k4+k54⩽52\dfrac{k_4+k_5}{4}\leqslant\dfrac{5}{2}，因此

a+k4+k52⩽92+52=7,a+\frac{k_4+k_5}{2}\leqslant\frac{9}{2}+\frac{5}{2}=7,

即中位数不超过 77，C 正确．

对于 D：
设 x1,x2,⋯ ,x10x_1,x_2,\cdots,x_{10} 已经从小到大排列，即 x1⩽x2⩽⋯⩽x10x_1\leqslant x_2\leqslant\cdots\leqslant x_{10}．
用反证法．假设这组数据的中位数超过 77，即 x5+x62>7\dfrac{x_5+x_6}{2}>7，则 x5+x6>14x_5+x_6>14．
又 x5⩽x6x_5\leqslant x_6，所以 x6⩾x5+x62>7x_6\geqslant\dfrac{x_5+x_6}{2}>7，即 x6>7x_6>7，于是

x5+x6+x7+x8+x9+x10⩾3(x5+x6)>2×7×3=42,x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10} \geqslant3(x_5+x_6)>2\times7\times3=42,

所以

x1+x2+x3+x4=50−(x5+x6+⋯+x10)<8.x_1+x_2+x_3+x_4=50-(x_5+x_6+\cdots+x_{10})<8.

从而

(x1−5)2+(x2−5)2+(x3−5)2+(x4−5)2⩾[(x1−5)+(x2−5)+(x3−5)+(x4−5)]24=(−12)24=36.(x_1-5)^2+(x_2-5)^2+(x_3-5)^2+(x_4-5)^2 \geqslant\frac{\bigl[(x_1-5)+(x_2-5)+(x_3-5)+(x_4-5)\bigr]^2}{4} =\frac{(-12)^2}{4}=36.

同理，

(x5−5)2+(x6−5)2⩾[(x5−5)+(x6−5)]22=822=32.(x_5-5)^2+(x_6-5)^2 \geqslant\frac{\bigl[(x_5-5)+(x_6-5)\bigr]^2}{2} =\frac{8^2}{2}=32.

又 7<x6⩽x7⩽x8⩽x9⩽x107<x_6\leqslant x_7\leqslant x_8\leqslant x_9\leqslant x_{10}，故

(x7−5)2+(x8−5)2+(x9−5)2+(x10−5)2>22×4=16.(x_7-5)^2+(x_8-5)^2+(x_9-5)^2+(x_{10}-5)^2>2^2\times4=16.

综上所述，

∑i=110(xi−5)2>36+32+16=84,\sum_{i=1}^{10}(x_i-5)^2>36+32+16=84,

所以方差为

110∑i=110(xi−5)2>8410=8.4>5,\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(x_i-5)^2>\frac{84}{10}=8.4>5,

与方差为 55 矛盾．故中位数不超过 77，D 正确．

综上，选 ACD\boxed{\text{ACD}}．

答案：ACD\displaystyle \text{ACD}