每日一题：2020-05-20

每日一题: 2020-05-20

题目: 当$m$ 为整数时, 关于$x$ 的方程$(2m-1)x^2-(2m+1)x+1=0$ 是否有有理根? 如果
有, 求出$m$ 的值; 如果没有, 请说明理由.

参考思路

因为$m$ 为整数, 显然$2m-1\neq 0$, 所以方程$\Delta =(2m+1)^2-4(2m-1)=4m^2-4m+5$.
若方程有有理根, 则$\Delta $ 必须是完全平方数, 设$\Delta =k^2$ 即$(2m-1)^2+4=k^2$.
因此有$4=k^2-(2m-1)^2=(k+2m-1)(k-2m+1)$, 因为整数$a+b$ 与$a-b$ 有相同的奇偶性, 所
以只有$k+2m-1=2, k-2m+1=2$ 或$k+2m-1=-2, k-2m+1=-2$, 无论哪种情况都有$m=\frac{1}{2}$ 矛盾.

所以不存在这样的整数$m$.