每日一题 2026-03-16

考虑三角形 $ABC$，设 $I_A$ 为其 $A$-旁心。设 $M, N, P$ 分别为 $I_A$ 在直线 $AC, BC, AB$ 上的投影。证明：如果 $\overrightarrow{I_AM} + \overrightarrow{I_AP} = \overrightarrow{I_AN}$，则 $ABC$ 为等边三角形。

参考解答

设 $r_a$ 为 $A$ 旁切圆的半径。由于 $M, N, P$ 分别是 $A$ 旁切心 $I_A$ 在直线 $AC, BC, AB$ 上的投影，因此 $I_A$ 到这些直线的距离等于旁切圆半径：

$|\overrightarrow{I_A M}| = |\overrightarrow{I_A N}| = |\overrightarrow{I_A P}| = r_a$

给定条件为 $\overrightarrow{I_A M} + \overrightarrow{I_A P} = \overrightarrow{I_A N}$。两边取模：

$|\overrightarrow{I_A M} + \overrightarrow{I_A P}|^2 = |\overrightarrow{I_A N}|^2$

$|\overrightarrow{I_A M}|^2 + |\overrightarrow{I_A P}|^2 + 2\overrightarrow{I_A M} \cdot \overrightarrow{I_A P} = |\overrightarrow{I_A N}|^2$

代入模长 $r_a$：

$r_a^2 + r_a^2 + 2r_a^2 \cos(\theta) = r_a^2$

其中 $\theta$ 是 $\overrightarrow{I_A M}$ 与 $\overrightarrow{I_A P}$ 之间的夹角。化简得：

$2\cos(\theta) = -1 \implies \cos(\theta) = -\frac{1}{2} \implies \theta = 120^\circ$

在四边形 $AMI_A P$ 中，$M$ 和 $P$ 处的角均为 $90^\circ$（因为它们是投影）。四边形内角和为 $360^\circ$，所以：

$\angle A + \angle MI_A P = 180^\circ$

由于向量 $\overrightarrow{I_A M}$ 与 $\overrightarrow{I_A P}$ 之间的夹角为 $\theta = 120^\circ$，有 $\angle MI_A P = 120^\circ$。因此：

$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

在向量方程 $\overrightarrow{I_A M} + \overrightarrow{I_A P} = \overrightarrow{I_A N}$ 中，向量 $\overrightarrow{I_A M} + \overrightarrow{I_A P}$ 必在 $\angle MI_A P$ 的角平分线上。直线 $AI_A$ 是 $\angle A$ 的内角平分线，同时也是 $\angle MI_A P$ 的角平分线。因此，向量 $\overrightarrow{I_A N}$ 必与直线 $AI_A$ 共线。这意味着点 $A, I_A, N$ 共线。由于 $N$ 是 $I_A$ 在 $BC$ 上的投影，直线 $I_A N$ 垂直于 $BC$。因此，$\angle A$ 的内角平分线也是 $A$ 到 $BC$ 的高。这一对称条件意味着三角形 $ABC$ 是等腰三角形，即 $AB = AC$，所以 $ABC$ 是等边三角形。